| 研究分担者 |
松本 裕行 名古屋大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (00190538)
松原 洋 名古屋大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (30242788)
吉信 康夫 名古屋大学, 大学院・情報科学研究科, 助手 (90281063)
松本 耕二 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (60192754)
谷川 好男 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (50109261)
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| 研究概要 |
研究実績の概要は以下のとおり.
Bernoulli数は,数論において最も重要な研究対象の一つであり,非常に多くの数論の未解決問題に対して重要な解答を与える可能性を秘めている.このBernoulli数の性質を解明するために様々な試みがなされてきたが,その一つにL.Carlitzによるq-Bernoulli数の研究がある.新しいパラメーターqを付加することにより,多くの公式に対して通常の方法では不可能な簡略な証明を与えることができるようになった.本研究の目的の一つは,Carlitzのq-Bernoulli数の背後に潜む理論を究明することである.その答えの一つが形式群の理論である.形式群の理論を用いることによりCarlitzのq-Bernoulli数は,完全に記述することが出来,q-Bernoulli数に対して成立する公式が何故存在するのか,その根拠を説明することが出来るようになった.本研究期間内に,形式群に付随するBernoulli多項式に対してdistribution relationを与えることが出来た.また,新たなる研究のアプローチとして,べき剰余の相互法則の研究にも取り掛ることにした.べき剰余の相互法則の直接証明は長年の懸案であったが,1985年T.Kubotaにより数の幾何学を用いた証明がなされた.これまでの証明は類体論の帰結としてなされてきたが,T.Kubotaの証明は空間内のおける格子点の数え上げという初等的な手段のみでなされていることが重要である.さらに,直感的にも理解しやすい非常に優れた証明である.べき剰余の相互法則を2次の場合に限ってみれば,Gauss以来数多くの証明がなされてきたが,T.Kubotaの方法を精密化することにより,これまで平方剰余の相互法則として知られてきた結果よりもより精密な相互法則を証明することができた.残された研究期間内に,今回得られた結果を高次元化することが目標である.
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