| 研究概要 |
k_0を有限次代数体とし、k_0に1のべき根をすべて添加して得られる最大円分体をk_∞とする。k_∞のイデアル類群やその最大不分岐アーベル拡大体のガロア群については、Brumer, Uchida, Horie, Kurihara 諸氏の研究がある。イデアル類群C_∞については、そのp-primary component C_∞(p) (p:素数)は、discrete abel群としては、Q_p/Z_pの可算無限個のの直和と同型であることが知られている(Brumer)。(Q_p,Z_pはp進数、p進整数の加法群。)
本年度は主に、このイデアル類群C_∞(p) の、円分体のガロア群Gal(k_∞/k_0)の作用も込めた構造について調べた。k_0に1の4乗根と1のl乗根(lは奇素数)をすべて添加した体をk_1とし、Gal(k_∞/k_0)の部分群 g=Gal(k_∞/k_1)を考える。gの作用により、C_∞(p)はdiscrete g-加群となる。いま、k_0は総実と仮定し、pは奇素数とする。このとき,複素共役の作用により、C_∞(p)はプラスパートとマイナスパートの直和にg-加群として分解する;C_∞(p)=C_∞(p)^+【symmetry】C_∞(p)^-. (実はC_∞(p)^+={0}(Kurihara)。)
一般にpro-p g-加群Xと、1のpべき乗根全体の群W(p)に対し、Hom(X, W(p))で、XからW(p)への連続準同型全体を表すことにすると、これにもgは自然に作用し、これはdiscrete g-加群となる。本年度得た主な結果は次の定理である。
定理 C_∞(p)^-はg-加群として、Hom(II^^∞__<N=1>Z_p[[g]],W(p))と同型となる。ただし、Z_p[[g]]はgのZ_p上の完備群環を表す。
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