| 研究概要 |
k_0を有限次代数体とし、k_0に1のべき根をすべて添加した体をk_∞,k_∞の最大不分岐アーベル拡大体をLとする。ガロア群Gal(L/k_∞)およびk_∞のイデアル類群C_∞の構造を調べることは、岩沢理論の「すべての1のべき根版」における、基本的な問題と思われる。profinite abel群としては、Gal(L/k_∞)はZ^^∧の可算無限個の直積と同型であること(Uchida)、discrete abel群としては、C_∞はQ/Zの可算無限個の直和と同型であること(Brumer)が知られている。(Q,Zはそれぞれ有理数、整数の加法群、Z^^∧は加法群Zのprofinite completion.)
いま、k_0に1の4乗根と1のp乗根(pは奇素数)をすべて添加した体をk_1とし、Gal(k_∞/k_0)の部分群g=Gal(k_∞/k_1)を考える。(gはZ^^∧と同型となる。)本研究では主に、gの作用を込めたGal(L/k_∞)およびC_∞の構造を調べた。
Gal(L/k_∞)については、完備群環Z^^∧[[g]]上の加群として、Z^^∧[[g]]の可算無限個の直積と同型となるという結果を得た。
一方、C_∞(p)はdiscrete g-加群となる。いま、k_0は総実と仮定し、pは奇素数とする。このとき、複素共役の作用によるC_∞(p)のマイナスパートをC_∞(p)^-と表す。(プラスパートは{0}となる(Kurihara)。)一般にpro-p g-加群Xと、1のpべき乗根全体の群W(p)に対し、Hom(X,W(p))で、XからW(p)への連続準同型全体を表すことにすると、これも自然にdiscrete g-加群となる。g-加群C_∞(p)^-については、Hom(II^∞_<N=1>Z_p[[g]],W(p))と同型となるという結果を得た。(Z_p[[g]]:gのp進整数環Z_p上の完備群環。)
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