| 研究課題/領域番号 |
15540039
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| 研究機関 | 首都大学東京 |
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研究代表者 |
中島 徹 首都大学東京, 都市教養学部・理工学系, 准教授 (20244410)
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| 研究分担者 |
マーティン ゲスト 首都大学東京, 都市教養学部, 教授 (10295470)
小林 正典 首都大学東京, 都市教養学部, 助教授 (60234845)
竹田 雄一郎 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助教授 (30264584)
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| キーワード | カラビ-ヤウ多様体 / 安定ベクトル束 / モジュライ空間 |
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| 研究概要 |
本年度の当研究の目的は、安定層のモジュライ空間の観点からカラビ-ヤウ多様体の不変量相互の関係を解明することであった。その結果、以下に述べる様な幾つかの興味深い成果を得ることができた。
我々が得た成果の一つ目は、カラビ-ヤウ多様体上の安定層のモジュライに対して確立されていたBrill-Noether理論を一般の非特異射影多様体にまで一般化したことである。具体的には、二つの連接層の拡大が安定になるための十分条件を求め、それを用いて異なる向井ベクトルに対応するBrill-Noether軌跡達の間の同型(Brill-Noether双対性)を証明した。我々は更にBrill-Noether軌跡がモジュライの開集合となるためのコホモロジーに関する条件を求めることにより、モジュライの次元を計算する方法を確立した。この結果は安定層のモジュライの双有理幾何学の研究のために今後重要な役割を果たすことが期待される。一つの応用として、曲面上のファイブレーションをもつ3次元楕円的カラビ-ヤウ多様体の場合には、モジュライが底曲面の0次元部分スキームのなすヒルベルトスキーム上の射影束と双有理同値であることを証明した。この結果はカラビ-ヤウ多様体内の楕円曲線と安定層を結び付けるものであるから、今後Gromov-Witten不変量と正則Casson不変量の関係を解明するうえで鍵になることが期待される。
二つ目の成果は、有限体上定義された曲線上の安定束から誤り訂正符号を構成する新しい方法を見出したことである。我々は前年度の研究に於いて、複素数体上定義された曲線上のベクトル束に付随した射影束内の超曲面として得られるカラビ-ヤウ多様体の正則Casson不変量を計算したが、その過程に於いてベクトル束の安定性から因子の交点数の正値性が導かれるという事実を用いた。同様の方法を有限体上のベクトル束に対して用いることにより、構成された符号の最小距離の下からの評価式を得ることができた。更にこの様な評価式は一般のグラスマン束の場合にまで拡張できることもわかった。曲線上の因子から定まる通常の代数幾何符号と比較すると、我々の構成した符号はベクトル束の階数という新たな自由度をもっているため、従来より高い性能をもつことが期待される。符号の性能に関する詳細な研究は今後の課題である。
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