| 研究課題/領域番号 |
15540039
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
代数学
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| 研究機関 | 首都大学東京 |
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研究代表者 |
中島 徹 首都大学東京, 都市教養学部理工学系, 准教授 (20244410)
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| 研究分担者 |
マーティン ゲスト 首都大学東京, 都市教養学部理工学系, 教授 (10295470)
小林 正典 首都大学東京, 都市教養学部理工学系, 助教授 (60234845)
竹田 雄一郎 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助教授 (30264584)
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| 研究期間 (年度) |
2003 – 2005
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| キーワード | カラビ-ヤウ多様体 / 安定層 / モジュライ空間 |
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| 研究概要 |
当研究の目的は、安定層のモジュライ空間の表現論に基づいてカラビ-ヤウ多様体の不変量相互の関係を解明することであった。表現論に関する研究は未だ十分に達成できていないものの、我々は以下に述べる様に不変量相互の重要な関係を見出すことができた。
まず、楕円的とは限らない一般のカラビ-ヤウ多様体上に安定束を構成する方法を見出した。これは、基本変換を用いて因子に台をもつ階数0の連接層と自明な層の拡大によって安定束を構成するものであり、BPS不変量と正則Casson不変量の間の新しい関係を示している。我々の方法により、従来のFriedman-Morgan-Wittenによるspectral coverの方法では扱えなかった多くのカラビ-ヤウ多様体上に安定束の具体例を与えることができた。
次に、代数曲線上のベクトル束に付随した射影束内の完全交差として得られるカラビ-ヤウ多様体の場合に、階数2の安定層のモジュライが射影空間と同型であることを証明した。特に、3次元以上のカラビ-ヤウ多様体ではモジュライは一般にはシンプレクティック多様体にはならないことが導かれた。我々はこの結果を用いて、正則Casson不変量を実際に計算することに成功した。この結果の証明に於いて用いられた豊富因子の摂動によって安定束を直線束の拡大として表すという手法は、今後他の多様体の場合にも応用が期待される。
最後に、カラビ-ヤウ多様体上の安定層に関して得られていたBrill-Noether理論の一般化を行った。具体的には、任意の非特異射影多様体の場合にまでBrill-Noether双対性を一般化し、Brill-Noether軌跡がモジュライの開集合になるための判定法を与えた。これにより、安定層のモジュライの双有理幾何的性質が明らかになった。応用として、楕円曲線をファイバーにもつ3次元カラビ-ヤウ多様体の場合に安定層のモジュライが底曲面の0次元部分スキームのなすHilbertスキーム上の射影束と双有理同値であることを証明した。この結果はカラビ-ヤウ多様体内の楕円曲線から安定層が構成されることを示しているから、Gromov-Witten不変量と正則Casson不変量の関係を与えるものである。
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