| 研究概要 |
モジュラー形式,特にそれから得られるガロア表現と円分体の整数論の関わりに関する以前からの研究を継続した.
裏面に記した論文:Companion forms and the structure of p-adic Hecke algebras(以下[C]として引用)は前年度末(04年3月)に書き終え,J.reine angew.Math.に投稿したが,昨秋acceptされた.今年度はその延長線上の研究をした.得られた結果は次のとおり:
1.[C]でモジュラー形式のp-進ヘッケ環のアイゼンシュタイン成分がゴレンスタイン環になるための十分条件を与えたが,その際アルマーによるモジュラー形式(mod p)とカスプ形式(mod p)のペアリング(をひねったもの)が重要な役割を果たした.昨年度の報告書に記した井草曲線のp-次不分岐被覆の研究への応用に関連して,井草曲線のsupersingularな点のまわりでの様子を調べるうちに,アルマーのものとは異なる,supersingular楕円曲線上のモジュラー形式を用いた類似のペアリングが定義でき,通常成分とくにアイゼンシュタイン成分ではよい振る舞いをすることがわかった.このようなペアリングを導入した動機には,companion formに関しての新しい情報が得られるのではないかという期待があったのであるが,このことおよび上記応用については次年度以降にもちこしとなった.
2.[C]ではp-進ヘッケ環の,(Z/pZ)^×の作用に関する,2つの固有空間を除外して考察したが,残った部分について[C]と同様の研究を行った.細部のチェック,レヴェルが小さいときの考察などを除いて,ゴレンスタイン性の十分条件はほぼできている.これに岩澤理論への応用をつけくわえれば,遠からず[C]の続編に着手できるものと考えている.
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