整数論にあらわれる特殊関数の代数解析的研究

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 15540050
• 研究機関: 早稲田大学
• 研究代表者: 上野 喜三雄 早稲田大学, 理工学部, 教授 (70160190)
• 研究分担者: 福島 延久 早稲田大学, 理工学部, 講師 ; 米田 元 早稲田大学, 理工学部, 助教授 (90277848) ; 村上 順 早稲田大学, 理工学部, 教授 (90157751)
• キーワード: 多重ゼータ値 / 多重(高次)対数関数 / KZ方程式 / ゼータ関数 / 接続問題

研究概要

平成15年度の前半は,形式的Knizhnik-Zamoldchikov方程式の解の接続問題をシャッフル代数の構造定理を用いることにより精密に解析し,それが多量高次対数関数(multipl polylogarithm)のオイラー型接続公式とLanden型接続公式を合わせたものと等価であることを示すことに成功した.これを高次対数関数(polylogarithm)の場合に限ったものをメリン変換したものから,多量ゼータ値の関係式であるところの「和公式」が得られる.この結果は"Proceeding of the conference on Zeta Functions, Topology, Quantum Physics"に発表の予定である.また,もうじき出版される論文"Relations for Multiple Zeta Values and Mellin Transforms of Multiple Polylogarithms"では,「和公式」の拡張に相当する「大野関係式」の自然な母関数を逆メリン変換したものからLanden型接続公式が得られることが示されている.このようやり方で多重対数関数のみたす接続公式,あるいは,関数方程式から多重ゼータ値のみたす関係式がすべて得られることが期待される.
次に平成15年度の後半であるが,コンピュータ言語理論の一種である,オートマトン理論を応用して,多重ゼータ値の関係式を得る,という研究を行った.もともとのアイデアはフランスのWaldschmidt教授によるものであるが,我々の研究によって,このアイデアの適用範囲が飛躍的に拡がった.

研究成果

• [文献書誌] 奥田順一, 上野喜三雄: "Relations for Multiple Zeta Values and Mellin Transforms of multiple Polylogarithms"Publ.RLMS Kyoto Univ.. to appear. (2004)
• [文献書誌] 奥田順一, 上野喜三雄: "The Sum Formula of Multiple Zeta Values and Connection problem of the Formal Knizhnik-Zamolodchikov Equation"Proceedings of the conference on Zeta Functions, Topology, Quantum Physics. to appear. (2004)
• [文献書誌] 西澤道知, 上野喜三雄: "Connection formula for tthe confluent hypergeometric function and the functional relation for the Hurwitz zeta function"Proceedings of the conference on Zeta Functions, Topology, Quantum Physics. to appear. (2004)