研究課題
基盤研究(C)
代数曲線は1次元であるが故に、点の性質がその代数曲線にある程度反映される。1点を取った場合は、性質として、その点のみで極を持つ有理型関数の極の位数からなる半群(点のワイエルシュトラス半群と呼ぶ)を考える。この半群は数値半群と呼ばれるものになる、研究課題の可換半群の一つがこれである。また、2点についても同様の半群を考え、点の対のワイエルシュトラス半群と呼ぶ。これがもう一つの可換半群である。この研究では次の3点に焦点をあてた。1.与えられた数値半群をワイエルシュトラス半群として持つ1点付き代数曲線の存在または具体的構成。2.射影直線上の被覆代数曲線における対のワイエルシュトラス半群の決定。3.代数曲線上の点のワイエルシュトラス半群から構成されるアフィントーラス多様体の研究。1については、超楕円曲線のワイエルシュトラス点で分岐する2次被覆を構成し、その分岐点のワイエルシュトラス半群を調べた。この結果、4-半群(最小正整数が4である数値半群)はすべてこのようにして得られることを示した。また、ワイエルシュトラスn-半群を持つ1点付き代数曲線の上の2次被覆を構成し、その分岐点のワイエルシュトラス半群を調べた。2については、射影直線上の素数次巡回被覆を考え、それの総分岐点の対のワイエルシュトラス半群を決定した。3はトーラス多様体への応用にあたる部分で、4個で生成される6-半群及び7-半群について、それらから構成されるトーラス多様体について調べた。この場合はこの数値半群はある点のワイエルシュトラス半群になっている。今後は、1について、種数8および9の数値半群についての1点付き代数曲線の存在または構成、2については超楕円曲線の2次被覆について、3については、5個で生成される6-半群及び7-半群についてと、構成されるアフィントーラス多様体が2次元になる場合について調べたい。
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