| 研究概要 |
有限次分裂ホップ代数上の右余加群代数で明らかになったホップ加群の双対性と,それから導かれる有限次分裂ホップ代数の作用する素多元環のガロア対応定理を,Kharchenkoによる微分作用素のガロア対応定理を完全に含むものに拡張するために有用と考えられるクロスK双代数について,研究機関や研究集会に出向いてその基本的特性に関する調査と討議を行った.その結果,研究目的に適合する対象としては,体上の可換代数K上のクロスK双代数Xで,通常の余単位元写像(左K写像)と左右対称的な性質を持つKへの右K写像,およびホップ代数のアンチポードに相当する写像をあわせ持つものを考えることが適切であることが判明した.特に,Kが体でXが余可換の場合に,ホップ代数に見られる特性のXへの拡張について調べ,X自身は0でない左イデアルで左X余加群となるものを持てばそれはXと一致するという単純性を持つことが分かった、また,Xの素多元環Rへの作用の定義を適切に行うことにより,作用が連続な場合は,Rへの作用はRの左右のマルチンデール商多元環に拡張できることが判明した.さらに,Rの対称的商多元環QとXとのスマッシュ積代数が定義できるよう,QへのXの作用の条件付けを行うことによっ,ホップ代数のガロア対応に相当する,Xの部分クロスK双代数とRの部分多元環との対応を与えることができ,ガロア対応定理の拡張へつなげることが可能となった.今後は,これらの成果を発展させ,特にXがK余代数として分裂でK上右加群としても左加群としても有限生成のとき,Xに関するホップ加群でその双対性を探り,ホップ加群の積分の存在と特性を明らかにすることが課題となる.
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