| 研究概要 |
Nをn次元完備Riemann多様体とし,M=R_+×Nに対し1/(x^2)(dx^2+<,>N)というRiemann計量を考える.これはpseudo hyperbolic spaceとよばれるものである(Tashiro,1965).L(c)=1{(x,y)∈M|x=c}(c>o)が双曲空間におけるhorosphereにあたるものである.
L(c)上のコンパクト領域Ωの関数uについて,そのグラフが表す超曲面の(上向き法線ベクトルに関する)平均曲率が一定Hであることは次の方程式で表されることが計算によりわかる.
∂/(∂x_i)(u_jg^<ij>/(√<1+|∇u|^2>))=nH/u+Γ^k_<ij>g^<ij>u_k/(√<1+|∇u|^2>)-Γ^k_<ij>u_ku^iu^j/(1+|∇u|^2)^<3/2>-n/u(√<1+|∇u|^2>)+1/2u_ku_lu_jg^<ij>∂g^<kl>/∂x_i/(1+|∇u|^2)^<3/2>-u_j∂g^<ij>/∂x_i/( √<1+|∇u|^2>)
ここで,g_<ij>,Γ^k_<ij>はNの計量,Christoffel symbolである.
L(C)の超曲面として∂Ωを考えるとき,その内向き平均曲率が正なものを考える.双曲空間において,Nelli-Spruck(1996), Lopez-Montiel(1999)は,0<H<1をみたす定数Hに対して,Hを平均曲率にもち∂Ωを境界に持つΩ上のグラフ曲面が存在することを証明している.この結果をpseudo hyperbolic spaceに拡張できないか,現在研究中である.
また,極小曲面についての研究成果として,R^2上のグラフで表される。R^4の極小曲面についてBernstein型の結果を得た.
定理 MをR^4のspecial Lagrangian submanifoldで,法曲率が0であるものとする.するとMは平面になる.
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