| 研究概要 |
四元数射影空間HP^nの複素n次元全複素部分多様体のツイスター理論に関しては,次のような進展があった.HP^nの複素n次元全複素部分多様体に対し,そのツイスター空間CP^<2n+1>への2種類のリフトをこれまで考えたが,さらに四元数空間H^<n+1>の中で錐を考えるとハイパーケーラー幾何学の観点から興味深い部分多様体を構成できることが分かった.
複素2次超曲面の等方的ケーラー部分多様体については,四元数ケーラー多様体特に四元数射影空間の全複素部分多様体の場合と類似の議論が成立する.この事実に着目し,複素2次超曲面の等方的ケーラー部分多様体について研究を進め,興味深い結果を得た.複素2次超曲面Q^nには,複素共形構造{U_λ,Ω_λ}_<λ∈Λ>が存在することが知られている.m次元ケーラー多様体M^mからQ^nへのケーラー埋め込みψ:M^m→Q^nが,各点p∈Mでψ^*Ω_λ=0ψ(p)∈U_λをみたすとき,ψを等方的ケーラー埋め込みあるいは等方的ケーラー部分多様体という.本研究で得られた成果は次のとおり.
1.等方的ケーラー埋め込みの高階基本形式のもつ代数的性質を明らかにし,特により次元の低い全測地的複素2次超曲面Q^lや全測地的複素射影空間CP^lに含まれることを主張するReduction Theoremを証明することができた.
2.等質ケーラー多様体からCP^<n+1>への標準はめ込みが直交表現から構成される場合は,その像はQ^nに含まれ,わずかの例外を除いて等方的ケーラーはめ込みになることは既に示したが,エルミート対称空間からの等方的ケーラーはめ込みに対しては高階法空間の間にペアリングが成立すること及びその次数を与える公式も導いた.
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