実解析的特異点の不変量の研究

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 15540071
• 研究機関: 兵庫教育大学
• 研究代表者: 小池 敏司 兵庫教育大学, 学校教育学部, 助教授 (60161832)
• 研究分担者: 福井 敏純 埼玉大学, 理学部, 教授 (90218892) ; 塩田 昌弘 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (00027385)
• キーワード: モティヴィック・ゼータ関数 / 福井不変量 / モティヴィック積分 / ブロー解析同値 / ブローナッシュ自明性 / リプシッツ同程度特異性 / ブロー半代数的自明性 / 昆布状近傍

研究概要

本研究は実解析的特異点に対するブロー解析同値、C^1同値、リプシッツ同値などの同値関係の不変量を模索・導入し、それらの同値関係に関する自明性定理とも合わせて、実解析的特異点の分類問題までを扱う研究である。これらの問題に関連して、今年度は以下に述べるような成果を得た。
海外共同研究者のAdam Parusinski氏との共同研究において、実解析関数芽に対するモティヴィック・ゼータ関数がブロー解析同値に関する不変量になることをモティヴィック積分を用いて証明していたが、今年度はこのゼータ関数や福井不変量を用いて更に多くの実解析的特異点の分類を行った。更に、Parusinski氏とは、実解析関数に対する種々の同値関係の間の関係についても研究を行い、2変数関数の場合、C^1同値はブロー解析同値を導くことの証明やリプシッツ同値はブロー解析同値を導かない例の構成などの成果を得た。
研究分担者の塩田昌弘氏とは、半代数的集合間の半代数的写像のファイバーが滑らかでない集合の研究を行ってきた。今回は、ファイバーが滑らかな部分に沿った写像の自明性に対する不変量を模索し、その第一歩として、値域の半代数的集合が1次元のときは常に写像はファイバーに沿って半代数的自明であること、2次元以上の場合には必ずしもファイバーに沿って半代数的自明にならない例の構成などの研究を行った。
一方、上記に述べたParusinski氏との研究とは別にもリプシッツ不変量の研究を行い、リプシッツ弧に対して昆布状近傍の概念を導入し、その近傍の次数や幅がリプシッツ位相同形写像に関する不変量になることを示した。また、そのことを用いて、リプシッツ位相同形写像は、一点ブローアップした空間上の位相同形写像を引き起こすことの証明も与えた。

研究成果

• [文献書誌] S.Koike, A.Parusinski: "Motivic-type invariants of blow-analytic equivalence"Annales de l'Institut Fourier. 掲載予定. (2004)
• [文献書誌] S.Koike: "Finiteness theorems on Blow-Nash triviality for real algebraic singularities"Banach Center Publications. 掲載予定.
• [文献書誌] S.Koike: "The Briancon-Speder and Oka families are not biLipscicz trivial"RIMS Kokyuroku. 1328. 165-173 (2003)
• [文献書誌] M.Fujita, M.Shiota: "Rings of analytic functions definable in o-minimal structure"Journal of Pure and Applied Algebra. 182. 165-199 (2003)
• [文献書誌] T.Fukui, J.Weyman: "Cohen-Macauley properties of Thom-Boardman strata. II."Proceedings of the London Mathematical Society. 87巻1号. 137-163 (2003)
• [文献書誌] T.Fukui, K.Kurdyka, L.Paunescu: "An inverse mapping theorem for arc-analytic homeomorphisms"Banach Center Publications. 掲載予定.