| 研究分担者 |
安藤 良文 山口大学, 理学部, 教授 (80001840)
宮澤 康行 山口大学, 理学部, 助教授 (60263761)
志磨 裕彦 山口大学, 理学部, 教授 (70028182)
内藤 博夫 山口大学, 理学部, 教授 (10127772)
中内 伸光 山口大学, 理学部, 助教授 (50180237)
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| 研究概要 |
1.cut-and-pasteと呼ばれる操作により可微分閉G多様体の集合に同値関係が導入される。この同値関係をSK同値という。ここにSKとはドイツ語のSchneidenとKlebenの2つの頭文字である。SK同値による商集合は多様体のdisjoint unionにより半群になる。この半群のGrothendieck群をG多様体のSK群という。このSK群の元xが整数tで割れるための必要十分条件,すなわち,ある元yが存在してx=tyとなるための必要十分条件を求めた。Gが位数2の巡回群,および奇数位数の有限アーベル群のとき,その必要十分条件を不動点多様体のオイラー数に対する条件として表した。
2.閉多様体が1次元球面(すなわち,円周)上のfibre bundleとコボルダントになるための必要十分条件は古くから知られていたが,本研究においてこの結果を閉G多様体に対する結果にまで拡張した。これは前述の結果のt=2の場合の応用として得られた。これは互いに同値ないくつかの表現方法で述べられるが,そのうちの1つとしては,「閉G多様体の各種の不動点多様体のオイラー標数がすべて偶数である。」という条件となる。また他の1つはオイラー関数を援用して述べることができる。これは東京理科大の原民夫氏が既に得ていた結果の再証明である。
3.球面上にGが可微分に作用し,その不動点が2点だけであるとき,この2つの不動点におけるGの接表現は互いにSmith同値であるという。Smith同値な2つの表現は線形同形であろうか?という問題に関して,多くの肯定的な結果とともに否定的な結果も知られている。この問題を球面上のG作用に限らずもっと一般の多様体にまで拡張し,さらに不動点も2点だけとは限らず一般に有限個を許容する問題について考察した。Gがアーベル群で,それが作用する多様体の次元が奇数である場合に対して,不動点における接表現はGのindex 2の部分群に制限すれば互いに2つずつが線形同形であることを示した。
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