Hesse幾何学と情報幾何学

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 15540080
• 研究機関: 山口大学
• 研究代表者: 志磨 裕彦 山口大学, 理学部, 教授 (70028182)
• 研究分担者: 吉村 浩 山口大学, 理学部, 助教授 (00182824) ; 菊政 勲 山口大学, 理学部, 助教授 (70234200) ; 中内 伸光 山口大学, 理学部, 助教授 (50180237) ; 幡谷 泰史 山口大学, 理学部, 助手 (20294621)
• キーワード: 平坦接続 / Hesse構造 / Hesse計量 / Codazzi構造 / 双対接続 / 射影的平坦接続

研究概要

正則凸錐が有する幾何学的構造を一般化したHesse構造は平坦接続DとRiemann計量gの組(D, g)で,gがDに関するHesse形式として表されるものをいう.
1.Hesse構造はある意味でKaehler構造のReal-版とも言うべき概念で,Hesse幾何学はKaehler幾何学と密接に関連している.実際.Hesse多様体の接ベクトル束はKaeghler多様体となることが示され,Kaehler幾何学に類似する多くの結果がHesse幾何学においても成り立つことが証明できた.例えば,Hesse多様体上でKaehler等式に類似の等式や,平坦接続Dを用いてDolbeault複体に類似の複体を構成しそのコホモロジーを使ってSerre双対定理や小平・中野消滅定理に相当する結果を得た.
2.平坦接続DとRiemann計量gの組(D, g)がHesse構造であるための必要十分条件は(D, g)がCodazzi方程式を満たすことである.これにより捩れのない接続DとRiemann計量の組(D, g)がCodazzi方程式を満たすときCodazzi構造と言う事にすれば,これはHesse構造,およびRiemann計量とLevi-Civita接続の一般化にもなっている.Codazzi構造においてはDのgに関する双対接続D'が定義できる.双対接続の概念は確率分布族が持つ自然な幾何学構造で情報幾何学は数理情報をこの双対構造をキーワードに研究する分野である.
3.Codazzi構造(D, g)が定曲率0の場合がHesse構造でLie群が推移的に働く等質Hesse構造の研究はほぼ完了した.Codazzi構造(D, g)が0でない定曲率cの場合は射影的平坦接続と関連し,等質Codazzi構造は1次元高い等質Hesse構造から得られることが分った.

研究成果

• [文献書誌] S.Kawai, N.Nakauchi: "The first eigenvalue of the p-Laplacian on a compact Riemannian manifold"Nonlinear Analysis. 55. 33-46 (2003)
• [文献書誌] I.Kikumasa, H.Yoshimura: "Commutative algebras with radical cube zero"Communications in Algebra. 31. 1837-1858 (2003)
• [文献書誌] I.Kikumawsa, H.Yoshimura: "Some type of commutative artin algebras II"Proceedings of the seventh symposium on Algebra, Languages and Commutation. (to appear).