| 研究概要 |
球面と円周の直積空間上で定義された同相写像fを恒等写像に変形するホモトピーにおいて生じる不動点および周期点の分岐について,位相的指数などのトポロジー不変量を適用することにより調べ次の成果を得た。
1.球面上に円周方向の回転数が異なる2点が存在する場合に,同一球面間の連続写像を構成し,その位相的指数として,ある整数を定義した。
2.写像fが球面上の対合による群作用で同変であり,かつ2点の回転数の差が1よりも大きいとき,上で導入された整数が0でないことを示した。この事実と位相的指数の性質を用いることにより,あるパラメータにおける写像が不動点をもつことを示した。
3.同様の考察を空間の普遍被覆上で行うことにより,任意の整数pに対し,周期がpである周期点があるパラメータで出現することを証明した。さらに,それらの周期点のうち,回転数が1/pとなるものが存在することを証明した。
4.球面の次元が1のときは,上記1で導入された指数は,円環上の次数2の組みひもの絡み数と一致することを証明し,組みひも理論との関連を示した。
5.現在,上記の成果を多様体が非自明な基本群を持つ場合に拡張中である。
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