| 研究概要 |
円板上で定義され1-助変数をもつ連続写像族の不動点の分岐について考察し,分岐によって生まれる分枝の位相的性質に関する成果を得た。
このような写像族の不動点からなる分枝は一般に曲線となるが,特にこの曲線が円周と同相であるものについて研究した。この写像族は,2個以上の不動点をもつ写像fが変形していき,最後にまたfに戻るものとする。この変形において,写像fの不動点は消滅しないとする。また,fの不動点が属する分枝の組みひも型は自明とする。このとき,円周と同相な分枝とfの不動点が属する分枝との絡み数は,fのある不動点の絡み数に等しいことを証明した。特にこれより,fの不動点の組みひも型も自明ならば,分枝との絡み数は零であることが分かる。
この証明は,Geoghegan, Nicas達が1990年代中頃に開発した1-助変数付き不動点理論を応用することによってなされる。この不動点理論は,コンパクトな空間を定義域としてもつ1-助変数写像族に対し,ホモトピー不変な指数を1次元ホモロジー群内に定義するものである。本研究が扱う問題の場合は,写像の定義域が穴あき円板であり非コンパクトであるため,定義域をコンパクト化し彼らの理論を適用可能な形に修正する必要がある。このコンパクト化に伴う影響を確定するため,コンパクト化により新たに現れる不動点の絡み数を決定した。この決定においては,研究代表者が以前に証明した不動点の組みひも型と自己絡み数に関する結果を用いた。
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