| 研究概要 |
平成15年度は偶数次元球面の2回ループ空間Ω^2S^<2n>の組合せ的モデルを,正則写像空間により構成することに成功した.Rat_k(CP^n)でS^2からCp^nへの基点を保つdegree kの正則写像空間を表す.S^2の基点を∞,CP^nの基点を[1,...,1]と取ることによりRat_k(CP^n)は共通根を持たない,monicな複素k次多項式の(n+1)組(p_0(z),...,p_n(z))と表示される.白然な包含写像i_k : Rat_k(CP^n)→Ω^2S^<2n+1>の下で,Rat_k(CP^n)はΩ^2S^<2n+1>をかなり良く近似することが知られている.例えばSegalによりi_kはk(2n-1)次元までホモトピー同値であり,Cohen-Cohen-Mann-MilgramによりRat_k(CP^n)の安定分解がΩ^2S^<2n+1>の安定分解因子を用いて記述された.この様に奇数次元球面の2回ループ空間の組合せ的モデルを正則写像空間により構成することは知られていたのである.
自然な問題として偶数次元球面の2回ループ空間Ω^2S^<2n>の組合せ的モデルを正則写像空間により構成するということがあるが,この問題はかなり以前から多くの数学者に認識されていたにも拘らず,未解決であった.平成15年度はΩ^2S^<2n>を近似するモデルを構成することに成功した.概略は以下の通りである.G^n_kでmonicな複素k次多項式の(n+1)組(p_0(z),...,p_n(z))で,α∈Cがp_0(z),...,p_<n-1>(z)の共通根ならばp_n(α)【not a member of】Rという性質を満たすものの集合とする.自然な写像j_k : G^n_k→Ω^2S^<2n>が存在する.n【greater than or equal】2のときはj_kに対し上記のSegal型の定理及びCohen-Cohen-Mann-Milgram型の定理が成立する.
n=1に対しては特に興味深い結果が得られた.Rat_k(CP^n)には複素共役による対合が存在し,その不動点集合をRRat_k(CP^n)と書く.つまりRRat_k(CP^n)はRat_k(CP^n)の元(p_0(z),...,p_n(z))で,各p_i(z)が実多項式であるものからなる.このときホモトピー同値G^1_k【similar or equal】RRat_k(CP^1)が存在する.
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