研究課題
基盤研究(C)
本研究では非双曲Dehn手術のうち、Seifert多様体を生成する手術(Seifert手術)に焦点を絞って研究を進めた。トーラス結び目上のSeifert手術はトーラス結び目の補空間のSeifertファイブレーションの拡張という観点から自然な説明がつくことが知られている。本研究では、Seifert手術を説明する手法を整理し、双曲結び目上のSeifert手術がどのように生じるのか、その"自然な"説明を与えることを最終目標に研究を進めている。平成15年度の研究ではSeifert手術の議論を応用して、自明な結び目をねじって得られる結び目が双曲結び目にならない状況について詳しく調べた。ここで得られた結果は双曲結び目のSeifert手術を構成する上で重要である。平成16年度は双曲結び目のSeifert手術を理解する上で重要なprimitive/Seifert-fibered constructionについても調べた。特に、非双曲primitive/Seifert-fibered結び目の完全な分類を与えた。また、ファイバー結び目のファイバースロープ(ロンジチュード)に沿ったSeifert手術について詳しく調べた。これまでロンジチュードに沿ったSeifert手術の例は知られておらず、ロンジチュードに沿った手術ではSeifert多様体は生じないものと期待されていた。本研究ではSnapPeaによるコンピュータ実験を通してロンジチュードに沿ったSeifert手術の無限個の例を構成することに成功した。ここで得られたロンジチュードに沿ったSeifert手術では、いずれも結び目補空間内の最短測地線と結び目の絡み数が1になっている。また、これらの最短測地線はSeifert手術後ファイバーになることが確認されている。ファイバーの位置をもとにSeifert手術を調べるという考えは、本研究の主要なテーマであり、特に結び目と最短測地線の絡み数はSeifert手術に関して多くの情報をもっているものと期待される。今後、この方面の研究をさらに深めていきたいと考えている。
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