現代的観点による古典的微分幾何の再構築とその応用

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 15540100
• 研究機関: 福岡大学
• 研究代表者: 黒瀬 俊 福岡大学, 理学部, 助教授 (30215107)
• 研究分担者: 井ノ口 順一 宇都宮大学, 教育学部, 助教授 (40309886) ; 濱田 龍義 福岡大学, 理学部, 助手 (90299537) ; 陶山 芳彦 福岡大学, 理学部, 教授 (70028223) ; 古畑 仁 北海道大学, 大学院・理学研究科, 講師 (80282036) ; 山田 光太郎 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (10221657)
• キーワード: ホップ実超曲面 / 弾性曲線 / 定平均曲率曲面 / ワイエルストラス型表現公式 / フロント / 線叢 / 統計多様体 / アフィン曲面

研究概要

初年度である平成14年度は、古典的微分幾何から複素空間形内の実超曲面論・空間形内の曲線および曲面・アフィン空間の超曲面などのテーマについて研究し、以下の成果を得た。
1.複素空間形内の実超曲面で、その上に誘導される概接触構造の構造ベクトル場が主曲率方向ベクトルとなっているもの(ホップ実超曲面)のうち、リッチ*-テンソルの対称部分が*-アインシュタイン条件を満たすものを決定した。
2.3次元定曲率空間内のキルヒホッフ弾性棒をヤコビの楕円関数および楕円積分を用いて完全に記述した。
3.(1)3次元双曲空間内の平均曲率1をもつ曲面のうち、絶対全曲率または双対絶対全曲率が小さいものを分類した。(2)同じく3次元双曲空間内において、特異点を除いて平坦になっている曲面のあるクラス-フラット・フロント-を定義し、その理論を構築した。これにより、従来微分幾何で扱われることの少なかった特異点をもつ曲面の研究に向けて、新たな一歩をふみだすことを得た。
4.メビウス幾何におけるダルブー球叢がユークリッド幾何におけるビアンキ・ベックルンド線叢の複素化を用いて得られることを示した。これは従来からあった予想「球叢で構成されるダルブー変換のうちで、スペクトル径数が純虚数のものは線叢では得られない」が成り立たないことを示すものである。さらに、この複素化された線叢に対応するループ群作用は球叢に対応するものとは別種であり、今後さらなる応用が期待される。
5.統計多様体の観点から既知のアフィン超球面の表現公式を調べることにより、正則統計多様体およびパラ正則統計多様体の概念を得、これを用いて表現公式の高次元化を与えた。さらに、これらが特殊ケーラー多様体やハイパー・シンプレクティック多様体と関係していることを示した。

研究成果

• [文献書誌] T.Hamada: "Note on real hypersurfaces of complex space forms with recurrent Ricci tensor"Differential Geometry-Dynamical Systems. 5. 27-30 (2003)
• [文献書誌] S.Kawakubo: "Kirchhoff elastic rods in the three-sphere"Tohoku Mathematical Journal. (to appear).
• [文献書誌] M.Kokubu, M.Umehara, K.Yamada: "Flat fronts in hyperbolic 3-space"Pacific Journal of Mathematics. (to appear).
• [文献書誌] M.Kokubu, M.Umehara, K.Yamada: "An elementary proof of Small's formula for null curves in PSL(2,C) and an analogue for Legendrian curves in PSL(2,C)"Osaka Journal of Mathematics. 40. 687-715 (2003)
• [文献書誌] W.Rossman, M.Umehara, K.Yamada: "Mean curvature 1 surfaces in hyperbolic 3-space with low total curvature II"Tohoku Mathematical Journal. 55. 375-395 (2003)
• [文献書誌] Q.Ding, J.Inoguchi: "Schrodinger flows, binormal motion for curves and the second AKNS-hierarchies"Chaos, Solitons and Fractals. 21. 669-677 (2004)