| 研究概要 |
ファインマン-カッツ汎関数の可積分性(gaugeability)の問題は,シュレディンガー作用素に対する劣臨界性,すなわち,正値グリーン関数の存在や正値解の存在と関連する問題で,ポテンシャルが無い場合にはマルコフ過程の再帰性,非再帰性の判定と同値な問題である.加藤クラスの測度をポテンシャルにもつファインマン-カッツ汎関数が可積分であるための必要十分条件を前年度までに得た.それはポテンシャルから定義されるランダムな時間変更過程の第一固有値が1より大きいことで与えられる.その事実は,時間変更過程の第一固有値が測度や対応する加法的汎関数の大きさを測る基準としての役割を果たすことを示している.本年度はそのアイデアをさらに推し進めて,ファインマン-カッツ半群の超縮小性を持つための必要十分条件やシュレディンガー作用素の基本解がLi-Yau型評価を持つための必要十分条件についても,時間変更過程の第一固有値が1より大きいことで与えられことを示した.さらに,Riemann多様体上の分枝ブラウン運動や分枝対称安定過程において,容量正の閉集合に到達する粒子数の期待値が有限となるための必要十分条件も同様の条件で与えられることを示し,特異な分枝レートを持つ具体的な例でその判定条件を検証した.
その他,対称安定過程のスペクトル関数が微分可能であることの十分条件を前年度までに得ていたが,それが同時に必要条件でもあることを証明した.
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