強制法の新しい反復法の開発

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 15540120
• 研究機関: 神戸大学
• 研究代表者: BRENDLE JORG 神戸大学, 大学院・自然科学研究科, 助教授 (70301851)
• 研究分担者: 渕野 昌 中部大学, 工学部, 教授 (30292098) ; 鈴木 晃 神戸大学, 大学院・自然科学研究科, 助手 (50330519)
• キーワード: 強制法の理論 / 実数上の集合論 / 連続体の基数不変量 / 記述集合論

研究概要

平成15年度に強制法の理論とその実数の集合との関係に集中して研究を行った。特に、連続体の基数不変量と記述集合論との関係に焦点を絞った。
(1)Shattered iterations.本研究者によって開発された「shattered iteration」という技法をさらに深く発展させた。特に、反復の枠組みにHechler強制法を用いることによって、cov(M)=b=N_2とnon(M)=N_3が同時に成り立つことの無矛盾性を得た。この研究は、b=N_3とCOV(M)=N_2を満たすモデルを求める本研究計画の問題(3)の解決への一歩である。
(2)Cardinal invariants related to Dense(Q)/nwd(Q).有理数Qの稠密な部分集合モジュロ全疎な集合という構造に対して、van Douwen図式の連続体の基数不変量と類似の基数不変量がBalcarとHrusakによって導入された。本研究では、s_Q<s、h_Q<s_Qとh<h_Qそれぞれの無矛盾性を示すことによって、彼らの問題を解いた。後者の二つの証明は極大QフィルターFの付いたLaver強制法L_Fの微妙な調査を必要とするため、方法論的に本研究計画の問題(4)と(5)に関連している。Michael Hrusak(モレリア、メキシコ)との共同研究である。
(3)Forcing indestructibility of mad families. HrusakとKurilicの研究を継続して、様々な強制法Pに対して、P-indestructibilityの組合せ論的特徴づけを得た。また、Martinの公理の断片を仮定するとき、いくつかの強制法の対(P,Q)に対して、P-indestructibleとQ-destructibleとなるmad familyを構成した。さらに、iterated Sacks indestructibilityを詳しく調べた。矢田部俊介(神大)との共同研究である。
(4)Silver measurability. DiPriscoとHenleによって導入されHalbeisenによってさらに調べた、Silver強制法と密接に関連している測度概念であるドーナツ性質(doughnut property)について研究を行った。つまり、全てのΔ^1_2集合がドーナツ性質を持つと全てのΣ^1_2集合がドーナツ性質を持つという命題が構成可能宇宙L上の超越命題として特徴づけられた。従って、その二つの命題が同値でないことも得られた。Lorenz Halbeisen(ベルファスト、英国)とBenedikt Lowe(アムステルダム、オランダ)との共同研究であり、Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Societyに出版される予定である。

研究成果

• [文献書誌] JORG BRENDLE: "Evasion and prediction IV"Archive for Mathematical Logic. 42・4. 349-360 (2003)
• [文献書誌] JORG BRENDLE: "The almost-disjointness number may have countable cofinality"Transactions of the American Mathematical Society. 355・7. 2633-2649 (2003)
• [文献書誌] JORG BRENDLE: "The cofinality of the infinite symmetric group and group wise density"Journal of Symbolic Logic. 68・4. 1354-1361 (2003)
• [文献書誌] JORG BRENDLE: "Recent developments in iterated forcing theory"Complexity in Mathematics and Computer Science. (未定).
• [文献書誌] JORG BRENDLE: "Silver measurability and its relation to other regularity properties"Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. (未定).
• [文献書誌] 渕野 昌: "Internal approachabilityの諸相とその応用"京都大学数理解析研究所講究録. 1304. 67-77 (2003)
• [文献書誌] SAKAE FUCHINO: "Remarks on a paper by Juh'asz and Kunen"Fundamenta Mathematicae. (未定).
• [文献書誌] AKIRA SUZUKI: "An alternative approach to comprehensive Grobner bases"Journal of Symbolic Computation. 36・3-4. 649-667 (2003)