| 研究概要 |
1.整数距離グラフ、有理数距離グラフについて:任意の有限グラフは平面上に整数距離グラフとして実現できる。ところが、可算個の頂点を持つ完全グラフから1辺を除いたグラフK(∞)-eは、どんな次元の空間内にも整数距離グラフとして実現することはできない。それに対して、このグラフK(∞)-eは平面上に有理数距離グラフとして実現できる。また、平面上のn点集合において、すべての点対の距離が整数で、どの3点も同一直線上になく、どの4点も同一円周上にないとき、この集合はnパックと呼ばれる。nパックが存在するなら、完全n部グラフK(a_1,a_2,..,a_n)が平面上に有理数距離グラフとして実現できることを示した。ここでa_i={n choose 3}+1である。
2.最小スターについて:平面上の点集合の場合、1-ノルムと∞-ノルム(maxノルム)については、それらの点を結ぶ最小スターの中心が容易に求められることを示した。また、任意のn(≠4,>2)とk>1について、p-ノルム(p=1,2,...,k)での最小スターの中心がすべて異なるような平面上のn点集合が存在する。ところが、平面上の4点集合の場合は、どんなノルムについでも同じ点が最小スターの中心となる。(倉敷芸術科学大学の渡辺守氏との共同研究)
3.有限点集合の反転について:平面上のn(>3)点集合については、そのピボット反転という変形が自然に定義されるが、それによって互いに相似でない点集合は、高々n+1個しか得られないことを示した。(統計数理研究所の上田氏との共同研究)
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