| 研究課題/領域番号 |
15540150
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
基礎解析学
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| 研究機関 | 秋田大学 |
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研究代表者 |
河上 肇 秋田大学, 工学資源学部, 助教授 (20240781)
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| 研究分担者 |
土谷 正明 金沢大学, 大学院・自然科学研究科, 教授 (50016101)
小林 真人 秋田大学, 工学資源学部, 助教授 (10261645)
坂 光一 秋田大学, 工学資源学部, 教授 (20006597)
三上 健太郎 秋田大学, 工学資源学部, 教授 (70006592)
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| 研究期間 (年度) |
2003 – 2004
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| キーワード | 逆問題 / 熱方程式 / 拡散方程式 / 領域形状 / リプシッツ領域 / Dirichlet to Neumann写像 / 混合型境界値問題 |
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| 研究概要 |
本研究の目的は、領域の境界の一部分の形状が未知であるとき、その形状を推定する逆問題の考察である。ただし推定のためのデータとして、この領域における熱方程式の初期値・境界値問題の解の部分的データを用いる。本研究に先立つBryan-Caudill [BC](Inverse Problems、1998)はノイマン境界条件下で問題を考えたが、Y.Moriyama(守山)[M](金沢大学自然科学研究科修士論文、2002)はより現実的な混合型境界条件下で問題を考えた。本研究でも混合型境界条件を採用しているが、さらに領域をリプシッツ有界領域と区間の直積とし、熱方程式は変数係数(その滑らかさは概ねリプシッツ連続)とした([BC]、[M]ともに領域は一般次元の直方体で熱方程式は定数係数である)。この問題に対し、本研究では以下に述べる結果を得た。
1.[M]における考察を基に、リプシッツ領域上の混合型境界条件をもつ2階放物型方程式の弱解のエネルギー評価を得た。
2.[BC]、[M]も行っているように、問題を変数変換し一つの基準領域で考え、所与の方程式を線型化をするという方針を採用した。ただし、それを全て弱解としての枠組みで統一的に行った。これによりリプシッツ領域の場合を取り扱うことが出来た。線型化はGateaux微分をとることで行い、その際上記のエネルギー評価を用いた。
3.上記2で得られた線型化問題に対して一意復元定理(データから領域の未知形状を一意的に推定出来ることを示す定理)を示した。この一意復元定理を示す際には、熱方程式に関わるDirichlet to Neumann写像の値域の稠密性を示し、それを用いた。
4.未知形状に対するある条件下で,最小2乗法によりデータから未知形状を近似的に再構成することが出来ることを示し,誤差評価式を導いた。証明には上記の一意復元定理を用いた。
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