| 研究課題/領域番号 |
15540157
|
|---|
| 研究種目 |
基盤研究(C)
|
| 配分区分 | 補助金 |
|---|
| 応募区分 | 一般 |
|---|
| 研究分野 |
基礎解析学
|
|---|
| 研究機関 | 東京工業大学 |
|---|
研究代表者 |
高橋 渉 東京工業大学, 大学院情報理工学研究科, 教授 (40016142)
|
|---|
| 研究分担者 |
谷口 雅治 東京工業大学, 大学院情報理工学研究科, 助教授 (30260623)
木村 泰紀 東京工業大学, 大学院情報理工学研究科, 助手 (20313447)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2003 – 2006
|
| キーワード | 非線形関数解析学 / 非線形作用素 / 非線形エルゴード定理 / 非線形発展方程式 / 凸解析学 / 不動点理論 / min-max定理 / 非線形変分不等式 |
|---|
| 研究概要 |
本研究は「不動点理論を介した非線形関数解析及び非線形問題の究明」と題して、種々の不動点定理を介して、非線形問題の解の存在と、その近似に関する問題を究明することを目的として研究がなされた。まず、Banach空間での極大単調作用素に対する零点の存在、及び零点を求める研究では、新しい境界条件を発見し、極大単調作用素の零点が存在するための必要十分条件を得た。これを用いて、集合値写像に対する角谷の不動点定理をヒルベルト空間まで拡張した。零点を求める研究では、凸計画法でのアイデアを利用し、ハイブリッド法による強収束定理を得た。また、バナッハ空間に適合する準非拡大作用素を新しく定義し、それを用いて、Halpern型及びMann型の強収束及び弱収束定理を得た。この研究ではさらに、極大単調作用素に対する零点集合が距離射影と異なる射影の値域であることに注目し、零点集合列のMosco収束とそれらの射影の収束の関係を明らかにした。この射影の研究において、バナッハ空間での4つ目の新しい非線形射影の発見があった。非線形非拡大半群の研究では、バナッハ空間のコンパクト集合上で、非拡大半群の平均収束法、及び点列の凸結合をとるMann型及びHalpern型の収束法を研究し、Mann型及びHalpern型の収束定理をいくつか得た。これらの結果は一般のバナッハ空間で得られたことに意義がある。また、非線形非拡大半群の共通不動点集合がある一個の非拡大写像の不動点集合と一致することも証明した。非線形変分不等式問題や相補性問題の解の存在と近似法の研究では、非拡大写像を一般化している逆強単調作用素に関する強収束及び弱収束の研究を行い、点列の平均収束法、射影法、Mann型及びHalpern型の収束法に関する定理をいくつか得た。特に、点列の平均収束法で得られた結果は、Baillonの非線形エルゴード定理をかなり一般化するものであり、射影法でえられた結果は、世界的に有名なStampacchiaの変分不等式定理を広い意味でとらえたものである。これらの結果は内外の雑誌に公表され、非常に関心がもたれた。また最近諸外国でたくさん引用されはじめたことを報告しておきたい。,これらの成果は予想以上であった。これは科学研究費を使って大量の文献収集やその整理、ならびにこの問題に興味を持っている他大学の研究者との数多くの研究打ち合わせや討論が功を奏した結果であろうと思われる。
|
