変分問題、逆問題、偏微分方程式の解の構造の研究

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 15540177
• 研究機関: 東京都立大学
• 研究代表者: 倉田 和浩 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (10186489)
• 研究分担者: 村田 實 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (50087079) ; 磯崎 洋 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (90111913) ; 岡田 正巳 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (00152314) ; 田中 和永 早稲田大学, 理工学部, 教授 (20188288) ; 神保 秀一 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80201565)
• キーワード: 変分問題 / 非線型楕円型方程式 / ウエイヴレット基底 / 境界値逆問題 / 双曲多様体 / 放物型偏微分方程式 / 非線型シュレデインガー方程式 / 特異摂動問題

研究概要

1.倉田は、非有界領域における典型的な非線形楕円型境界値問題での正値解の存在問題と領域の幾何学的性質との関連は古くから研究されてきたが、漸近的にいくつかの筒状領域をもつような領域のクラスに対して新しい存在定理を示した。また、非線形楕円型問題における最適化問題の最適解の対称性の崩れ、非線形光学に現れる非線型シュレデインガー方程式でのエネルギー最小解の対称性の崩れなどの発見を行った。
2.磯崎は、電気伝導度逆問題などにおいて双曲空間でのシュレデインガー作用素に対する境界値逆問題の解析をとうして見なおす新しい方法論を提唱し、その有効性をさまざまな逆問題で示した。
3.岡田は、ウエイヴレットやスプライン関数を選点法的に用いて、関数近似評価式を与え、非線形の偏微分方程式の数値解の近似計算に利用した。またウエイヴレット基底を用いて、無限次元におけるハミルトニアンをシンプレクチイック力学系に書き下す手順を与えた。
4.村田は、heat escapeの概念を導入することによって、リーマン多様体上の2階放物型偏微分方程式に対する初期値問題の非負値解の単純かつ一般的な非一意性定理を確立し、必要十分条件も研究した。また、周期係数楕円型作用素のGreen関数の漸近挙動を研究した。
5.田中は、非線形シュレデインガー方程式に関する特異摂動問題を精力的に研究し、エネルギー最小解に対する新たな特徴付け、漸近的に線形な非線形項を持つ場合のlocal mountain passの方法の確立を行った。また、Allen-Cahn方程式や非線型シュレデインガー方程式の特異摂動問題において、非常に複雑なプロファイルをもつ解の構成に成功した。
6.神保は、領域の特異摂動においてのラプラス作用素の共鳴的な固有値の挙動が非共鳴的な固有値とその収束オーダーにおいて大幅に異なる新しい特徴つけを発見した。また、電磁波の固有振動の摂動問題において精密な固有値の特徴つけの可能性をひらいた。
7.吉富は、進展する亀裂を含む2次元有界領域上のラプラス作用素の固有値の精密な漸近展開を示した。また、帯状領域におけるラプラス作用素のバンドスペクトルについて考察し、第1バンド関数の漸近展開を得た。

研究成果

• [文献書誌] Kazuhiro Kurata, M.Shibata, K.Tada: "Existence of positive solutions for some nonlinear elliptic equations on unbounded domains with cylindrical ends"Nonlinear Analysis. 55. 83-101 (2003)
• [文献書誌] Masami Okada, T.Ueno, T.Ide: "A wavelet collocation method for evolution equations with energy conservation property"Bull.Sci.Math.. 127. 569-583 (2003)
• [文献書誌] Masami Okada, S.Maeda: "Hamiltonian formulation of energy conservative variational integration by wavelet expansion"Journal of Functional Analysis. (to appear).
• [文献書誌] Hiroshi Isozaki: "Inverse spectral problems on hyperbolic manifolds and their applications to inverse boundary value problems in Euclidian space"Amer.J.of Math.. (to appear).
• [文献書誌] Hiroshi Isozaki, G.Uhlmann: "Hyperbolic geometry and local Dirichlet-Neumann map"Adv.in Math.. (to appear).
• [文献書誌] Minoru Murata: "Heat escape"Math.Ann.. 327. 203-226 (2003)
• [文献書誌] Minoru Murata, T.Tsuchida: "Asymptotics of Green functions and Martin boundaries for elliptic operators with periodic coefficients"J.Differential Equations. 195. 82-118 (2003)
• [文献書誌] Kazunaga Tanaka, K.Nakashima: "Clustering layers and boundary layers in spatially inhomogenenous phase transition problems"Ann.Inst.H.Poincare' Anal.Nonline'aire. 20. 107-143 (2003)
• [文献書誌] Kazunaga Tanaka, L.Jeanjean: "A remark on least energy solutions in R^n"Proc.Amer.Math.Soc.. 131. 2399-2408 (2003)
• [文献書誌] Kazunaga Tanaka, Y.Ding: "Multiplicity of positive solutions of a nonlinear Schroedinger equation"Manuscripta Math.. 112. 109-135 (2003)
• [文献書誌] Shuichi Jimbo, S.Kosugi: "Approximation of eigenvelues of elliptic operators with discontinuous coefficients"Comm.Partial Differential Equations. 28. 1303-1323 (2003)
• [文献書誌] Shuichi Jimbo, J.Zhai: "Instability in a geometric parabolic equation on convex domain"J.Differential Equations. 188. 447-460 (2003)
• [文献書誌] Shuichi Jimbo: "Singular perturbation of domains and semilinear elliptic equations III"Hokkaido Math.J.. 33. 11-45 (2004)
• [文献書誌] Kazushi Yoshitomi: "Eigenvalue problems on domains with cracks II"Japanese Journal of Mathematics. 29. 181-220 (2003)
• [文献書誌] Kazushi Yoshitomi: "Band spectrum of the Laplacian on a slab with the Dirichlet boundary condition on a grid"Kyushu Journal of Mathematics. 57. 87-116 (2003)
• [文献書誌] Kunio Hidano: "Conformal conservation law, time decay and scattering for nonlinear wave equations"Journal d'Analyse Mathe'matique. 91. 269-295 (2003)
• [文献書誌] Kunio Hidano: "The global existence theorem for quasi-linear wave equations with multiple speeds"Hokkaido Mathematical Journal. (To appear).
• [文献書誌] Makoto Sakai, B.Gustafsson: "Sharp estimates of the curvature of some free boundaries in two dimensions"Ann.Acad.Sci.Fenn.Math.. 28. 123-142 (2003)