| 研究課題/領域番号 |
15540178
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| 研究機関 | 兵庫県立大学 |
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研究代表者 |
楳田 登美男 兵庫県立大学, 大学院・物質理学研究科, 教授 (20160319)
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| 研究分担者 |
岩崎 千里 兵庫県立大学, 大学院・物質理学研究科, 教授 (30028261)
保城 寿彦 兵庫県立大学, 大学院・物質理学研究科, 教授 (40211544)
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| キーワード | 相対論的シュレディンガー作用素 / 一般固有関数 / 擬微分作用素 |
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| 研究概要 |
一般次元において、ポテンシャル項のない相対論的シュレディンガー作用素のレゾルベント核は特異性の強いリース・ポテンシャルとマイナス・ラプラシアンのレゾルベント核、および性質の良い積分核の3つからなりたっていることが確認された。その結果、相対論的シュレディンガー作用素の一般固有関数の遠方での詳しい挙動を調べる上で、特異性の強いリース・ポテンシャルの関数への作用を各点的に調べる必要が生じることが確認された。リース・ポテンシャルを含む特異積分作用素は伝統的に関数空間における作用を調べる研究(特異積分作用素に対する不等式の研究)が多く、本研究で必要とされる、各点的評価はほとんど研究がない。そこで、この困難を克服するために、表象に特異性をもつ擬微分作用素の各点的評価、さらには、漸近展開の研究を行った。手始めに、ヒルベルト変換、および、表象がヒルベルト変換と同等の特異性をもつ擬微分作用素に対する漸近展開を導いた。次に、リース・ポテンシャル、および、表象がリース・ポテンシャルと同等の特異性をもつ擬微分作用素に対する漸近展開を導いた。これらは、共役変数の空間の1点にのみ特異性をもつ場合である。このような場合、作用を受けた関数のフェイズ、および漸近展開の係数は表象の特異性に位置によって決定されることが示された。
本研究では、さらに踏み込んで、表象の特異性が位相空間における多様体上にある場合にも、考察を広げた。特異性の乗っている多様体の次元が位相空間の次元の半分の場合には、擬微分作用素の作用を受けた関数の漸近展開が完全に求められた。特異性の乗っている多様体が超局面になっている場合にも、それがグラフ状の局面であるならば、漸近展開を求めることができることがわかった。
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