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1 (特異的なフーリエ積分作用素と第2超局所解析)
線型双曲型微分方程式の解の特異性の伝播の研究においては、解の特異性の分岐、conical refractionなど様々な現象が解析されてきた。特に解の特異性のconical refractionの現象は、結晶光学の研究に現れる自然なものとして多くの視点から研究が進められてきた。1985年ころから、このconical refractionの研究に第2超局所解析を用いて分析を行うことが試みられ、P.Laubinや私の研究により一定の結果を得ることができた。第2章超局所解析は、余接束(cotangent bundle)の包合的(involutive)な多様体に沿って爆裂(blow-up)を行い、より精密に特異性の分解を行うものである。上で述べた、conical refractionの解析の中で途中のままになっているものに、第2超局所解析の枠組みでの方程式の変換理論がある。超局所解析では、量子化接触変換、フーリエ積分作用素によって、擬微分方程式が単純特性的な点において簡単な標準形(canonical form)に移ることを示されているが、この点では第2超局所解析の研究はまだ不十分である。今年度の研究は、第2超局所解析における変換理論を解のレベルでの積分作用素と関連付ける形で研究を行った。
2 (第2超関数の基礎的な研究)
第2超局所解析で自然に現れる第2超関数(2-hyperfunctions)の層は、正則な包合的多様体上に制限した佐藤のマイクロ関数の層を含む。この第2超関数の層を退化した偏微分方程式の境界値問題に応用する研究を行った。
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