| 研究課題/領域番号 |
15540190
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
基礎解析学
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| 研究機関 | 近畿大学 |
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研究代表者 |
青木 貴史 近畿大学, 理工学部, 教授 (80159285)
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| 研究分担者 |
泉 脩藏 近畿大学, 理工学部, 教授 (80025410)
大野 泰生 近畿大学, 理工学部, 助教授 (70330230)
中村 弥生 近畿大学, 理工学部, 講師 (60388494)
山崎 晋 日本大学, 理工学部, 講師 (00349953)
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| 研究期間 (年度) |
2003 – 2005
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| キーワード | 完全WKB解析 / ストークス曲線 / 変わり点 / 無限階擬微分方程式 / 高階微分方程式 / 接続問題 / 多重ゼータ値 / ストークス現象 |
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| 研究概要 |
当研究の目標は、無限階の擬微分方程式に対して完全WKB解析を確立し、その応用を研究することであるが、これに関して次のような結果を得た:
・WKB型作用素と呼ばれるカテゴリーに属する無限階擬微分作用素に関しては、変わり点、ストークス曲線といった基礎概念を定義でき、単純変わり点の近傍における標準形が得られた。これは無限階擬微分作用素に対する割り算定理から導くことができる。
・完全WKB解析の大きな応用は微分方程式の接続問題である。そして接続問題の応用として多重ゼータ値に関する等式を得た。通常の多重ゼータ値における和を取る範囲を等号付きに変えて得られるものを考えると、重さと高さを固定した和がリーマンゼータ値の有理数倍で書けるということを証明した。この証明にはある種の非斉次フックス型微分方程式の特殊値が使われるが、その特殊値を求める際にガウスの超幾何関数の特殊値を与えるガウスの公式が用いられる。このようにして得られた等号付き多重ゼータ値の関係式族は、従来得られている様々な線型関係式族には含まれない、新しい関係式を生成している。また、高さと深さが一致するものの和に対する母関数が、やはりリーマンゼータ値の有理数倍の多項式で書けること等が得られた。
・解の積分表示を持つような無限階方程式に関して、変わり点および仮想変わり点を用いて得られたストークス幾何と積分表示の最急降下法によって得られるストークス幾何を比較し、それらが一致することが確かめられた。これは、無限階の場合でも、有限階のときと同様に仮想変わり点が接続問題の解決に重要な役割を果たすことを意味しており、今後の研究に関して一つの大きな方針、つまり、仮想変わり点の解析を柱として研究を進めることの正当性を強く示唆している。
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