| 研究概要 |
前年度の結果をふまえて、あるバナッハ空間内の単位球上の正則写像に対して、その増大度に関して研究し、次のような結果を得た。
まず、(E,‖・‖)を複素バナッハ空間とし、Bをそのノルム‖・‖に関する単位開球とする。さらに、kを自然数とし、正則写像f:B→Eは、次の条件を満たすとする。
(1)fは、媒介変数表現f(z,t)を持つ。
(2)e^<-t>f(z,t)-zは、z=0を(k+1)位の零点に持つ。
さらに、C内の単位開円板U上の関数g:U→Cがg(0)=1,g(〓)g(〓^^-),〓g(〓)>0かつ<min>___<|〓|=r>〓g(〓)=min{g(r),g(-r)},<max>___<|〓|=r>〓g(〓)=max{g(r),g(-r)}を満たすとする。このとき、
評価式
‖z‖exp∫^<‖x‖>_0[1/(max{g(x^k),g(-x^k)})-1]dx【less than or equal】‖f(z)‖【less than or equal】‖z‖exp∫^<‖x‖>_0[1/(min{g(x^k),g(-x^k)})-1]dx
が成立する。
その他、f(・,t)に対する増大度定理や被覆定理を証明し、さらに、これらの条件を満たす写像の例として、星型写像や凸写像について考察した。また、Taylor展開したときの係数の有界性についても解析した。
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