| 研究課題/領域番号 |
15540195
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| 研究機関 | 埼玉大学 |
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研究代表者 |
長澤 壯之 埼玉大学, 理学部, 教授 (70202223)
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| 研究分担者 |
小池 茂昭 埼玉大学, 理学部, 教授 (90205295)
阪本 邦夫 埼玉大学, 理学部, 教授 (70089829)
高木 泉 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (40154744)
柳田 英二 東北大学, 大学院理・学研究科, 教授 (80174548)
立川 篤 東京理科大学, 理工学部, 教授 (50188257)
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| キーワード | 超曲面の発展方程式 / ウィルモア汎関数 / ヘルフリッヒ変分問題 / 中心多様体 / 分岐理論 / 分岐方程式 / 正則性 |
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| 研究概要 |
本研究では、超曲面の族に定義される汎関数に対する勾配流を考察した。勾配流は、汎関数の最急傾斜の方向に汎関数値を減らすように対象を変形させるもので、汎関数の臨界点を求める一つの方法である。問題を解析するにあたっては、汎関数の性質の解析が欠かせない。
ウィルモア汎関数に、超曲面の面積とそれが囲む領域の体積の指定した制限付極値問題は、赤血球の形状を決定するモデルの一つで、ヘルフリッヒ変分問題と呼ばれる。対応する勾配流をヘルフリッヒ流という。簡単な計算で球面が定常解になる事が分かる。長澤と高坂は、ヘルフリッヒ流に関して、1.任意の初期曲面に対する時間局所解の存在と一意性、2.球面に近い初期曲面に対する時間大域解の存在、3.球面近傍の中心多様体の存在と次元の評価、の結果を得て、論文にまとめ投稿した。長澤と高木は球面からの分岐解の研究を行った。本研究以前に、軸対称分岐解の存在とその安定性について結果を既に得ていた。非軸対称分岐解の存在の有無を調べるための既約分岐方程式を導いた。さらに、その標準形を決定し、モードが2または4の場合の既約分岐方程式の解をすべて決定した。これらを摂動することで分岐方程式の解が構成できる。
阪本は、多様体の埋め込みから決まる法曲率テンソルの二乗積分で定義される汎関数の変分公式を導き、その停留点の構造を調べた。ウィルモア汎関数はその特別な場合である。柳田は、3種の物質の相境界を記述する曲線が満たす幾何学流を考察し、その定常解の安定性の判定条件を見出した。立川は、幾何学的変分問題から導かれる方程式の弱解の研究を行い、特に、フィンスラー多様体への調和写像の正則性に関する結果を得た。小池と有澤は、幾何学的発展方程式の粘性解による取り扱いについて検討した。太田・下川は解の爆発の研究を行った。
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