水面波の方程式の時間大域解の解析

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 15540200
• 研究機関: 東京工業大学
• 研究代表者: 井口 達雄 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助教授 (20294879)
• 研究分担者: 隠居 良行 九州大学, 大学院・数理学研究科, 助教授 (80243913) ; 西畑 伸也 東京工業大学, 大学院・情報理工学研究科, 助教授 (80279299) ; 宮川 鉄朗 金沢大学, 理学部, 教授 (10033929)
• キーワード: 水面波 / 表面張力 / KdV方程式 / 漸近挙動 / Navier-Stokes方程式 / 熱対流

研究概要

水面上に表面張力がある場合の水面波の方程式を考察し、比較的長時間におけるその解の振る舞いを調べた。Boussinesq scalingの下での水面波の方程式の解は、比較的長時間KdV方程式の解で(形式的に)近似されることは知られていた。その近似の正当性を数学的に厳密に証明した。さらに水底に凹凸がある場合も考察し、その凹凸が上記の近似に与える影響を調べた。凹凸があると二つのKdV型の方程式が連立した形で現れるこを示した。
研究分担者の宮川はNavier-Stokes方程式の3次元非定常外部問題を無限遠でも境界でもゼロという境界条件下で考察した。初期値がある減衰条件と対称性の条件をみたせば、なめらかな時間大域解が存在し、各時刻で初期値と同じ対称性をみたし、かつL^1に属することを示した。さらに高次の対称性を初期値に要求すれば、空間無限遠での解の減衰率が上がることも示した。
研究分担者の西畑は、双曲型方程式系と楕円型方程式系の連立系に対する初期値問題の時間大域解の存在とその挙動を考察した。初期条件を定数状態からの摂動とした時、その摂動が適当なSobolev空間で十分に小さければ時間大域解が存在し、その解は時間の経過とともに初期の定数状態に漸近する事を示した。さらに、この時間大域解は,対応する双曲-放物型連立系の解によって、時間漸近的に、より精密な近似率で近似される事を示した。
研究分担者の隠居は、熱対流現象を記述するモデル方程式としてある種の非斉次非圧縮Navier-Stokes方程式系を考察した。そしてその初期値問題の時間大域的な弱解の存在を示し、そのOberbeck-Boussinesq極限を考察した。

研究成果

• [文献書誌] Tatsuo Iguchi: "On steady surface waves over a periodic bottom : relations between the pattern of imperfect bifurcation and the shape of the bottom"Wave Motion. 37, no.3. 219-239 (2003)
• [文献書誌] Tatsuo Iguchi, P.LeFloch: "Existence theory for hyperbolic systems of conservation laws with general flux-functions"Archive for Rational Mechanics and Analysis. 168, no.3. 165-244 (2003)
• [文献書誌] C.He, Tetsuro Miyakawa: "On L^1-summability and asymptotic profiles of smooth solutions of 3D Navier-Stokes equations in an exterior domain"Mathematische Zeitschrift. 245, no.2. 387-417 (2003)
• [文献書誌] Yoshiyuki Kagei, M.Ruzicka, G.Thaeter: "A limit problem in natural convection"Nonlinear Differential Equations and Applications. (発表予定).
• [文献書誌] Shinya Nishibata, S.Kawashima, Y.Nikkuni: "Large-time behavior of solutions to hyperbolic-elliptic coupled systems"Archive for Rational Mechanics and Analysis. 170, no.4. 297-329 (2003)