| 研究分担者 |
廣川 真男 岡山大学, 大学院・自然科学研究科, 教授 (70282788)
勝田 篤 岡山大学, 大学院・自然科学研究科, 助教授 (60183779)
山田 修宣 立命館大学, 理工学部, 教授 (70066744)
岩塚 明 京都工繊大学, 繊維学部, 教授 (40184890)
伊藤 宏 愛媛大学, 工学部, 教授 (90243005)
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| 研究概要 |
本年度は、スペクトル漸近性に関わる次の2つの課題を追究した:(1)2つのソレノイド磁場による散乱の準古典近似問題:(2)指数積公式によるシュレディンガー半群の積分核近似:(1)ベクトルポテンシャルΛ(x)=(-x_2/|x|^2,x_1/|x|^2)=(-δ_2log|x|1,δ_1log|x|))はδ-型磁場(ソレノイド磁場)を生成する(∇×Λ(x)=Δlog|x|=2πδ(x))が、無限遠での減衰は緩やかである(Λ(x)=O(|x|^<-1>)。2つのソレノイド磁場中を運動する粒子は、ハミルトニアン
H_h=(-ih∇-A)^2,A(x)=α_1Λ(x-e_1)+α_2Λ(x-e_2)
によって記述され、A(x)は2点e_1,e_2にフラックスα_1,α_2,をもつソレノイド磁場を生成する。複数個のソレノイド磁場による散乱においては、磁場の中心間で振動する古典軌道が存在し、いわゆるtrapping現象が発生する。このため、単一磁場による散乱(散乱振幅の表現式は計算可能)とは著しく異なる挙動を呈する。さらに、量子力学においては磁場ポテンシャル自身が粒子の運動に直接関与する。アハラノフ・ボーム(Aharonov-Bohm)効果とよばれるこの量子効果が長距離型のベクトルポテンシャルを通して散乱振幅の準古典漸近公式(h→0)に対していかなる影響を及ぼすかを解析した。(2)シュレディンガー作用素H=H_0+V(H_0=-Δ)によって生成される exp(-tH)(t>0)が指数積
exp(-tH)=lim___<N→∞>(exp(-τH_0)exp(-τV))^N,τ=t/N,
によって強収束近似できることは、トロッター・加藤(Trotter-Kato)積公式として知られている。最近、特異性を有するかなり広いクラスのポテンシャルVに対して作用素ノルムでも収束可能なことが明らかにされた。この研究では、半群の積分核(基本解)の指数積による近似とその収束誤差を評価した。課題(1),(2)について得られた結果の一端をLuminy研究所で開催された国際研究集会(Marseilles,10/3-10/7(2005))で発表したことを報告しておく。
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