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2004 年度 実績報告書

非線形拡散方程式系と関連する楕円型微分方程式系の研究

研究課題

研究課題/領域番号 15540216
研究機関早稲田大学

研究代表者

山田 義雄  早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20111825)

研究分担者 大谷 光春  早稲田大学, 理工学術院, 教授 (30119656)
田中 和永  早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20188288)
菱田 俊明  新潟大学, 工学部, 助教授 (60257243)
中島 主恵  東京海洋大学, 海洋科学部, 助教授 (10318800)
竹内 慎吾  工学院大学, 工学部, 専任講師 (00333021)
キーワード反応拡散 / 内部遷移層 / スパイク / 定常解 / Morse指数 / 安定性
研究概要

本年度集中的に扱った方程式は相転移現象を記述する半線形拡散方程式である。空間1次元に限定し,u_{t}=ε^{2}u_{xx}+u(1-u)(u-a(x)),0<x<1,をゼロNeumann境界条件下で考える。ただし0<a(x)<1である。拡散係数εが非常に小さいとき、関数値が0と1の間で急激に変化する内部遷移層や棘のような形状を示すスパイクを持つ解が興味の的である。このタイプの解について内部遷移層が現れる位置はa(x^*)=1/2をみたすx^*の近傍に限られ、スパイクが現れる位置はa(x_)が極値を取る点x_の近傍に限られることが知られている。当研究では、いかなる条件下で多重内部遷移層や多重スパイクが現れるか、またその形状はいかなるものか、についても詳しい結果を得ている。同一結果はAi-Chen-Hastingsらによっても最近得られているが、彼らの研究とは異なるアプローチを開発した。また定常解に関しては安定性も非常に重要な問題である。定常解uの安定性は、対応する線形化問題-ε^{2}v"+(3u^{2}-2(a(x)+1)u+a(x))v=μv,0<x<1,に関する負の固有値の個数(=Morse指数)によって調べられる。内部遷移層を伴う解の場合、遷移層が単一でしかもu'(x^*)a'(x^*)<0をみたすときのみが安定であり、その他のケースは不安定、かつMorse指数も解の形状から正確に導くことができる。スパイクを伴う解の不安定性についても満足できる結果を得ている。これらの結果は5th International Conference on Dynamical Systems and Differential Equations, Pomona, CA, June, 2004などの国際会議で発表した。

  • 研究成果

    (10件)

すべて 2005 2004

すべて 雑誌論文 (10件)

  • [雑誌論文] Evolution inclusions governed by the difference of two subdifferentials in reflexive Banach spaces2005

    • 著者名/発表者名
      Goro Akagi, Mitsuharu Otani
    • 雑誌名

      Journal of Differential Equations Vol.209, No.2

      ページ: 392-415

    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
  • [雑誌論文] Coexistence states for a prey-predator model with cross diffusion2005

    • 著者名/発表者名
      Kousuke Kuto, Yoshio Yamada
    • 雑誌名

      Proceedings of AIMS' 5th International Conference on Dynamical Systems and Differential Equaitons, June 2004, Pomona, CA (予定)

  • [雑誌論文] Transition layers and spikes for a reaction-diffusion equation with bistable nonlinearity2005

    • 著者名/発表者名
      Michio Urano, Kimie Nakashima, Yoshio Yamada
    • 雑誌名

      Proceedings of AIMS' 5th Internatonal Conference on Dynamical Systems and Differential Equations, June 2004, Pomona, CA (予定)

  • [雑誌論文] Singularly perturbed elliptic problems with superlinear or asymptotically linear nonlinearities2004

    • 著者名/発表者名
      Louis Jeanjean, Kazunaga Tanaka
    • 雑誌名

      Calculus of Variations and Partial Differential Equations Vol.21, No.3

      ページ: 287-318

    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
  • [雑誌論文] Multiple existence and stability of steady-states for a prey-predator system with cross-diffusion2004

    • 著者名/発表者名
      Kousuke Kuto, Yoshio Yamada
    • 雑誌名

      Nonlocal Elliptic and Parabolic Problems, Banach Center Publications 66

      ページ: 199-210

  • [雑誌論文] The Landau-Lifschitz flow of maps into the Lobachevsky plane2004

    • 著者名/発表者名
      Masayoshi Tsutsumi
    • 雑誌名

      Funkcialaj Ekvacioj Vol.47, No.1

      ページ: 83-106

  • [雑誌論文] Degree for subdifferential operators in Hilbert spaces2004

    • 著者名/発表者名
      Jun Kobayashi, Mitsuharu Otani
    • 雑誌名

      Advances in Mathematical Sciences and Applications Vol.14, No.1

      ページ: 307-325

  • [雑誌論文] Topological degree for S_{+}-mappings with maximal monotone perturbations and its applications to variational inequalities2004

    • 著者名/発表者名
      Jun Kobayashi, Mitsuharu Otani
    • 雑誌名

      Nonlinear Analysis Vol.59, No.1-2

      ページ: 147-172

  • [雑誌論文] Evolution inclusions governed by subdifferentials in reflexive Banach spaces2004

    • 著者名/発表者名
      Goro Akagi, Mitsuharu Otani
    • 雑誌名

      Journal of Evolution Equations Vol.4, No.4

      ページ: 519-541

  • [雑誌論文] L^{q}-theory of a singular "winding" integral operator arising from fluid dynamics2004

    • 著者名/発表者名
      Reinhard Farwig, Toshiaki Hishida, Detlef Muller
    • 雑誌名

      Pacific Journal of Mathematics Vol.215, No.2

      ページ: 297-312

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公開日: 2006-07-12   更新日: 2016-04-21  

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