| 研究概要 |
古典力学の研究における基本問題の一つに「具体的に与えられたハミルトン系が可積分か否かを判定すること」がある.ハミルトン系が可積分であるとは,運動方程式の一般解を解析的に求めることができることを意味する.例えば万有引力で相互作用する2質点の運動を記述する2体問題は可積分であるが3体問題は可積分でない.自由度nのハミルトン系の場合,非自明で最も簡単な場合が自由度2の場合であるが,この場合に限っても現在のところ,あるアルゴリズムによって可積分性を判定するという基本問題は解決されていない.本研究はそのような可積分性のより強力な判定条件を求め,可積分なハミルトン系のリストを得ることを目的とする.本年度は新たな可積分な同次式ポテンシャルの組織的な探索を実行し,速度$p_1,p_2$について3次および4次の第一積分を持つ全ての多項式ポテンシャルを列挙することに成功した.一方で,シンプレクティック解法に関する研究も並行して行い,次の結果を得た.エネルギー以外の保存量がシンプレクティック解法によって常に良く保存されるか否かは最近まで明らかでなかったが,簡単な2次元の調和振動子の持つある第一積分が保存されないことを示し決着をつけた.その結論はケプラー問題に特有なルンゲ・レンツ積分に対しても適用される.また以上とは直接には関係がないが、標準写像と呼ばれる写像においてバーコフ型でない周期解についての性質を明らかにした.
|
