| 研究概要 |
本年度の目的は,箱の中を運動する2つの剛体球系を調べることにより,力学系理論の観点からガラスにおける遅い緩和過程を理解するための足がかりをつくることであった。2つの剛体球系は,適当な条件下での系のエルゴード性が厳密に証明され,多体ハミルトン系として最も単純な力学系であり,さらには,Awazuにより,ガラスの動力学を特徴づける引き伸ばされた指数型緩和が見られることが報告された系でもある。
ここでは,この系の緩和過程に影響を及ぼすことが期待される不変構造の候補として,系に存在する2種類の周期軌道,すなわち,(1)平行な辺で反射を繰り返す,いわゆるball bouncing mode,(2)2つの球がすれ違うボトルネックに存在する周期軌道,が緩和過程にいかなる影響を及ぼすかについて検討した。前者は,1体のビリヤード系において代数的な緩和を発生させる原因となるものであり,後者は,高次元の遷移状態として最近研究の進んでいる「法双曲多様体」に対応するものである。その結果,前者については,位相空間に占めるbouncing ball modeの次元が剛体球の数が増大すると共に相対的に低くなることからその影響力が小さくなることを明らかにし,また,後者については,緩和の速度を遅らせる効果はあるものの,緩和の関数型を指数関数的なものからずらす効果はないことを見出した。以上の考察をもとに,配置に関する相関関数を計算し,ガラスと類似の2段階緩和を見出す一方,遅い運動に対応する緩和も指数関数的なものでしかないことを示した。
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