2次元結び目解け予想の解決

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 15654011
• 研究機関: 広島大学
• 研究代表者: 松本 堯生 広島大学, 大学院・理学研究科, 教授 (50025467)
• 研究分担者: 鎌田 聖一 広島大学, 大学院・理学研究科, 教授 (60254380)
• キーワード: 2次元結び目 / 解け予想 / 2次元ブレイド / チャート表示 / 変形 / マルコフ型定理

研究概要

結び目が解けるための必要十分条件は、2次元滑らか結び目以外に関しては、既に与えられている。本研究は2次元滑らか結び目に対しても同じ条件、つまり補空間のホモトピー型が自明な場合と同じという条件が、結び目が解けるための必要十分条件であることを示そうという試みである。
既に以前の萌芽研究によって、交点を許した2次元結び目の1-助変数族を構成することができた。それを2次元ブレイドの1-助変数族に変換するところが、マルコフ型定理の拡張であってまず大問題であって、現在研究分担者が中心になって努力中であるが、基本的なアイデアは既に得ている。一方、こうしてできる特異2次元ブレイドの1-助変数族をチャート表示すること自体にはそれほど大きい問題がないことが判明した。しかし、1-助変数族が単純な特異2次元ブレイドのみでないことからくる困難の解決が必要であり、もう一つの大問題である。この点に関して、今年度大きな進展が見られ、萌芽的研究としてのみでなく、2次元滑らか結び目解け予想の解決そのものという本格的な研究に直接つながる可能性が強くなった。
具体的には、一端が自明な結び目であることを用いて、単純でない2次元ブレイドは非常に特別な形でしか出没しないことを主張する方法がわかった。さらに、それを利用すると、単純な2次元ブレイドの1-助変数族のときに適用できる高さの取替え法がこの場合にも適用できることがわかる。そうすると、自己交差の成分数を減らすことができる。こうして、数学的帰納法によって、1-助変数族を途中で自己交差がない形に変形していくことができ、しかるべき条件を満たす結び目が自明であることが判明するのである。

研究成果

• [文献書誌] Matumoto, Takao: "Cusp equivalence between smooth embeddings of the 2-sphere in 4-space"Topology and Geometry Monographs. 2. 343-348 (1999)
• [文献書誌] Kamada, Seiichi, Matumoto, Takao: "Combinatorial moves on ambient isotopic submanifolds in a manifold"Journal of Mathematical Society of Japan. 53. 321-331 (2001)
• [文献書誌] Kamada, Seiichi: "Stable equivalence of knots on surfaces and virtual knot cobordisms"Journal of Topology and its Ramifications. 11. 311-322 (2002)
• [文献書誌] Kamada, Seiichi: "Quandle cohomology and state-sum invariants of knotted curves and surfaces"Transactions of American Mathematical Society. 355. 3947-3989 (2003)
• [文献書誌] Kamada, Seiichi: "Braid and knot theory in dimension four"American Mathematical Society. 347 (2002)