| 研究概要 |
次元が一定なコンパクトアレクサンドロフ空間,リッチ曲率が下から一様に押さえられたリーマン多様体全体の集合にリーマン計量を導入することを研究した.これまで各空間にネットを固定し,そのネットの距離構造から定まる離散ラプラシアンを導入し,それらがランダムなネットについて元の空間のラプラシアンに適当な意味で収束することを示していた.この離散ラプラシアンは同じヒルベルト空間に線形作用素として作用していることから,異なる空間の離散ラプラシアンを比較することができるので,この差を一方のラプラシアンの摂動と捕らえられる.更に,離散ラプラシアンに自然にそのネットを頂点とするマルコフ連鎖を対応させることができ,その統計力学的諸量が定められることに注目した.フォンノイマン型の相対エントロピーが分配関数(キュムラント)から計算できることから,それを使ってこのエントロピーから定まるフィッシャー計量(に当たるもの)がどのように定まるかを決定した.大事なことは温度に当たるパラメーターを導入したことで,それにより有限温度による理論の高温極限と絶対零度極限を調べることが可能となった.現在,特に高温極限でのフィッシャー計量とマルコフ連鎖との関連を調べることでハウスドルフ距離との関連を調べている.
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