対称臨界性原理とその非線形偏微分方程式への応用

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 15654024
• 研究機関: 早稲田大学
• 研究代表者: 大谷 光春 早稲田大学, 理工学部, 教授 (30119656)
• 研究分担者: 小林 純 早稲田大学, 理工学部, 助手 (40339700) ; 田中 和永 早稲田大学, 理工学部, 教授 (20188288) ; 北田 韶彦 早稲田大学, 理工学部, 教授 (10123118) ; 赤木 剛朗 早稲田大学, メディアネットワークセンター, 助手 (60360202) ; 石渡 通徳 早稲田大学, 理工学部, 助手 (30350458)
• キーワード: Symmetric Criticality / subdifferential Operators / Critical Point / Symmetry

研究概要

Banach空間X上で定義された、劣微分作用素を含むかなり一般的な多価作用素Aに対して、一般化された"Principle of Symmetric Criticalilty"が示された.即ち,
(a)対称性を表現する群Gの作用が等距離的である,または
(b)X及びその双対空間X^*がともに回帰的かつ狭義凸である,
が成り立てば,
「群Gの作用に関して不変な部分空間X_G上でのAに付随する(生成する)X上の汎関数Jの臨界点がXでの臨界点を与える」ことが示された。
この原理の応用として、ある種の回転対称性を有する非有界領域におけるp-Laplacianを含む変分不等式の解の構成がなされた。一般の非有界領域では、ソボレフの埋蔵定理にかかわるコンパクト性が欠如しているが、回転対称性を有する関数からなる部分空間においては、これが恢復するために、この部分空間におけるこの問題に付随する汎関数の臨界点が容易に構成される。この臨界点が、真の臨界点であることが、上記の原理から保証されるのである。
この原理は,Palaisによる古典的な"Principle of Symmetric Criticalilty"の拡張
を与えているだけではなく、作用素Aが、必ずしも変分構造を有していなくてもよいversionに拡張することが可能(AがG-共変であれば十分)であり、今後このより一般化された原理の応用が充分期待される。

研究成果

• [文献書誌] G.Akagi, Jun Kobayashi, M.Otani: "Principle of symmetric criticality and evolution equations"Dynamical Systems and Differential Equations edited by W.Fei, S.Hu & X.Lin, American Institute of Mathematical Sciences. 1-10 (2003)
• [文献書誌] G.Akagi, M.Otani: "Evolution equations and subdifferentials in Banach spaces"Dynamical Systems and Differential Equations edited by W.Fei, S.Hu & X.Lin, American Institute of Mathematical Sciences. 11-20 (2003)
• [文献書誌] M.Garcia-Huidobro, R.Manasevich, M.Otani: "Existence results for p-Laplacian-like systems od O.E.D.'s"Funkcialaj Ekvacioj. 46. 253-285 (2003)
• [文献書誌] A.Kitada: "A note on a property of a weak self-similar perfect set"Chaos Solitons Fractals. 15. 903-907 (2003)
• [文献書誌] Y.Ding, K.Tanaka: "Multiplicity of positive solutions of a nonlinear Schrodinger equation"Manuscripta Mathematica. 112. 109-135 (2003)
• [文献書誌] L.Jeanjean, K.Tanaka: "A remark on least energy solutions in R^N"Proc.Amer.Math.Soc. 131. 2399-2408 (2003)