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無限Coxeter群およびCAT(0)空間の幾何学的研究を行い、以下の研究成果を得た。
(1)有限Coxeter群は歴史的にユークリッド空間の有限鏡映群を特徴付けるために登場した。本研究では、geodesic空間上に「鏡映」の概念を拡張し、geodesic空間の鏡映群という概念を導入した。その結果、有限無限を問わず、Coxeter群はgeodesic空間の離散鏡映群として特徴付けられることを証明した。一般に、Coxeter群はDavis複体とよばれるCAT(0)空間を導き、Coxeter群はDavis複体の離散鏡映群となっている。「Davis複体とCoxeter群」で成立する既存のいくつかの定理が、「一般のCAT(0)空間とその離散鏡映群」においても成立するという研究成果も得ている。
(2)昨年度に、Coxeter群のDavis複体の境界においてCoxeter群のある軌道が稠密となる十分条件を与えている。この結果を発展させ、Davis複体の境界上の任意のCoxeter群の軌道が稠密となる十分条件を与えた。また、Coxeter群のparabolic部分群の境界に関して研究を行い、ある特定の集合がCoxeter群において(word metricに関して)quasi-denseならば、parabolic部分群の境界全体をCoxeter群でうつした軌道が、Davis複体の境界上で稠密となることを証明している。この結果が条件を付けずに成立するかは未解決な問題であり、今後、取り組んで行きたい。
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