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2005 年度 実績報告書

3次元多様体の例外的手術から生じる4次元多様体

研究課題

研究課題/領域番号 15740034
研究機関電気通信大学

研究代表者

山田 裕一  電気通信大学, 電気通信学部, 助教授 (30303019)

キーワード3次元多様体 / レンズ空間 / 結び目 / デーン手術 / 特異点論 / 平面曲線 / 4次元多様体 / 枠付き絡み目
研究概要

3次元球面内の結び目に沿うデーン手術(Dehn surgery)でレンズ空間が生じる"例外的な"現象は「レンズ手術」と呼ばれ,低次元多様体論の研究課題となっている.筆者の最近数年間の研究は,次のような予想として要約できる:多くのレンズ手術は,A'Campoが特異点論の研究の中で定義したdivide knotであり,対応する平面曲線は「L型の領域に沿って斜めの格子を切り取った形状」をしている.さらに,このときのL型領域の面積はレンズ手術の手術係数に等しい.
この予想を,4次元多様体論的な観点(枠付き絡み目の手法)を中心とした視点から考察した.
以下は,その具体的な成果である.
(1)筆者の最初の発見は,非常に限られたL型領域の場合で「TypeVIIのレンズ手術」族に対応する.この発見は本年度内に論文として出版された.
(2)前項(1)の族を少し拡張したL型曲線を,その領域の面積を係数として手術した場合にはレンズ空間にはならないが,グラフ多様体ではあることが証明された.つまり,予想の逆にあたる命題は安易には成立しない.この結果も本年度内に論文として出版された.
(3)次に,前々項(1)に比べて,より一般的なL型領域について考察し,「TypeI」から「同V」までのレンズ手術について予想が誤差1以内で正しいことが示された.言わば,一般的なレンズ手術について概ね予想が解決されたことになる.この成果は,8月の大連(中国),12月の早稲田大,2月の広島大の研究集会で講演した.
(4)レンズ手術の典型的な具体例である結び目P(-2,3,7)について,門上晃久氏(大阪市立大)との共同研究へと発展した具体的な等式を,この結び目にまつわる各種の興味と合わせて包括的に解説した論文も出版された.
これらの講演・執筆では,本年度購入したプリンタの効果は大きかった.

  • 研究成果

    (6件)

すべて 2006 2005

すべて 雑誌論文 (6件)

  • [雑誌論文] Two equalities on the Alexander polynomial of the pretzel knot of type (-2, 3, 7)2006

    • 著者名/発表者名
      山田 裕一
    • 雑誌名

      電気通信大学紀要 18・1-2合併号

      ページ: 47-52

  • [雑誌論文] Finite Dehn surgery along A'Campo's divide knots2006

    • 著者名/発表者名
      Yuichi YAMADA
    • 雑誌名

      Proceedings of 12^<th> MSJ-IRI symposium "Singularity theory and its applications" (掲載予定)(or later)

  • [雑誌論文] Lens space surgeries and plane curves2006

    • 著者名/発表者名
      山田 裕一
    • 雑誌名

      研究集会「結び目のトポロジーVIII」報告集 (寄稿)(掲載予定)

      ページ: 14

  • [雑誌論文] Berge's knots in the fiber surfaces of genus one, lens space and framed links2005

    • 著者名/発表者名
      Yuichi YAMADA
    • 雑誌名

      Journal of Knots and its Ramifications 14・2

      ページ: 177-188

  • [雑誌論文] A Family of Knots Yielding Graph Manifolds by Dehn Surgery2005

    • 著者名/発表者名
      Yuichi YAMADA
    • 雑誌名

      The Michigan Mathematical Journal 53・3

      ページ: 683-690

  • [雑誌論文] A deformation of the Alexander polynomials of knots yielding Lens spaces2005

    • 著者名/発表者名
      山田裕一, 門上晃久
    • 雑誌名

      日本数学会年会トポロジー分科会アブストラクト

      ページ: 19-20

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公開日: 2007-04-02   更新日: 2016-04-21  

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