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結び目や3次元多様体の量子不変量を構成する時にゼータ函数のようなものが生じる場合が多々ある。例えば、3次元多様体の量子SU(2)不変量の場合は有限和の補正項として、結び目や3次元多様体のKonsevitch不変量では多重ゼータ函数の特殊値として、というふうにゼータ函数が表に出てくる。そこで、今年度はこのゼータ函数のq類似に関する研究を行った。q類似の意味はqを1に近づけた時に、全平面でもとのゼータ関数に収束するような函数ということである。ゼータ函数には様々な拡張があり、そのうちの1つに指標を使ったディレクレのL函数というものがある。これは自明な指標の時な普通のゼータ函数に一致する。このディレクレのL函数をq類似の意味での拡張を行った。即ち、qを1に近づけた時に、全平面でもとのL函数に収束するような函数を構成した。これは指標が自明な場合はqゼータ函数に一致する。さらに、qゼータ函数の数値計算をいくつか行った。その中で特に興味があるのはqを変化させた場合にもとの零点がどのように変化するかである。これはリーマン予想のq類似に相当する問題でもある。(これらの結果は若山(九大)・山崎氏(九大)との共同研究で投稿中)その結果、qを0に近づけた場合にもとの非自明な零点は実軸上へ向かっていることが分かった。また自明な零点は負の整数に収束していることが分かった。他にも様々な予想が推測されたので、現在その証明を行いつつある。
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