| 研究概要 |
曲面上の錐状特異点をもつ平坦構造のモジュライ空間の研究に関して,今年度は昨年度に続き,超楕円曲線のタイヒミュラー空間の幾何についての研究を行った.主結果は,昨年度に得られた平面上の多角形の相似類全体の空間と超楕円曲線のタイヒミュラー空間および2次元球面上の錐点をもつユークリッド構造のモジュライ空間という3つの空間の対応に関して,同型となるための多角形の相似類全体の空間の精密な条件を得たことである.
特に,超楕円曲線のタイヒミュラー空間および2次元球面上の錐点をもつユークリッド構造のモジュライ空間上の超楕円的写像類群の作用に関して,対応する多角形の相似類空間への作用を記述した.精密には,組み紐群の生成元に対応する多角形の変形を見出した.これは特に組み紐群の線形表現を誘導するが,実際これは古典的な組み紐群の線形表現であるBurau表現の特別な場合に相当している.この結果,多角形の写像類群の作用による軌道を決定することができ,とくに退化多角形の軌道が正確に記述された.この記述により,ある条件をみたす任意の多角形状の閉曲線は,有限回の上の変形によって自己交叉をもたない多角形に変形できることを示した.これによって,多角形の相似類全体の空間と2次元球面上の錐点をもつユークリッド構造のモジュライ空間の精密な同型を与えた.
これらのことから,多角形の面積形式の符号から超楕円曲線のタイヒミュラー空間上の計量と既存の距離との間の精密な関係付けが期待でき,また,多角形の相似類空間がもつ自然な葉層構造が与える超楕円曲線のタイヒミュラー空間の葉層構造を来年度の課題としたい.
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