| 研究概要 |
ガウシユニタリアンサンブルの固有値のなすランダム場のスケーリング極限としてあらわれるフェルミオンランダム場とその一般化であるボゾンランダム場についての研究を主に行なった.フェルミオンランダム場とボゾンランダム場は,局所トレース族に属する非負定値積分作用素から定義されるフレドホルム行列式によってそのラプラス変換が与えられ,相互作用をもつランダム場の特別なクラスを定める.これらのラプラス変換に1パラメーターを導入することによりポアソン場のラプラス変換を含む1パラメータ族が定まる.これはランダム場の1つの補間で,それぞれは一般化された二項分布の無限次元版に対応するものであり,どのようなパラメータに対して非負のランダム場が存在するかについて研究している.非負のランダム場の存在はある特別な形の行列変数関数の正値性の問題と同値であることがわかっており,その正値性の問題と平行して考えているが,現在のところはまだ一般的な場合についての(非)存在の証明を与えることには成功していないが,状態空間が有限の場合について,非不定値行列に付随するポアソンランダム場の行列積分によって問題となっているラプラス変換を表現し,その結果として特別なパラメータについてはそのランダム場(確率分布)の存在を証明した.またその帰結として行列式の一般化である行列変数関数の積分表現を与えて,その正値性について部分的な結果を得た.
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