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1.
一次元非粘性バーガース方程式に、ホワイトノイズの初期条件を正の半直線上で与え、負の半直線上にはマイナス無限大を与えた系を研究した。これは、真空に向かって放出・拡散する完全非弾性粒子のモデルになっている。本研究では、遠方まで到達した粒子の総質量を、重複対数のオーダーで表すことができた。初期条件がホワイトノイズの原始関数の場合も研究し、質量流の長時間漸近挙動に関する重複対数の法則を得た。さらに精密化して、質量流の下級関数と上級関数の特徴づけを得た。
この研究は、一次元ブラウン運動について広く知られたコルモゴロフの重複対数の法則の、一つの精密化になっている。
時空間に於けるブラウン運動の軌跡(グラフ)の凸閉包は、ある関数のグラフを定めるが、本研究の結果は、このグラフに対する重複対数の法則を与えるのである。
この成果を掲載する学術雑誌の発行日が間近である。
2.
一次元ランダムウォークの正の半直線への初到達時刻についての遥動理論(Sparre Andersenの定理)に関連して、二次元確率過程への種々の拡張を行った。これより、二次元ランダムウォークの半無限直線への初到達時刻に対する恒等式を得た。
この研究は、二次元DLAモデルに関連して、クラスタに付着するまでの経過時間・付着箇所のきわめて簡単な場合を考えることが動機である。3つの確率変数に対する同時漸近評価を、拡張された遥動理論の応用として解析した。この研究成果は、投稿準備中である。
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