| 研究概要 |
本研究では,計算機援用証明により,平行Poiseuille流れの安定性を記述するOrr-Sommerfeld方程式に対する安定および不安定領域の存在を数学的に厳密に示す.また,Rayleigh-Benard対流として知られている熱対流問題を記述するOberbeck-Boussinesq方程式の定常分岐点の存在を数学的に厳密な誤差評価とともに証明する.さらに,分岐により生じる非自明解の存在を精度保証付き数値計算を用いて検証することにより,Oberbeck-Boussinesq方程式の解の大域構造を安定性・不安定性とともに明かにすることを目的とする.
平成15年度は,次の課題に重点をおいて研究を行った.
1.1次元非自己共役複素固有値問題に対する精度保証付き数値計算
Oberbeck-Boussinesq方程式の分岐点の存在を検証するためには,線形化方程式である非自己共役複素固有値問題を精度保証付きで解くことが必要になる.そのため,代表的な非自己共役複素固有値問題として,平行Poiseuille流れの安定特性解析より導かれるOrr-Sommmerfeld方程式を取り上げ,これまでの数値的検証法が拡張可能であることを数値計算アルゴリズム及び検証例を与えることにより明かにするとともに,偏微分方程式に適用するための知見を得ることに成功した.
2.線形化複素固有値問題への適用
1.で得られた計算スキームを2次元Oberbeck-Boussinesq方程式の線形化問題に延用した.離散化はFourier-Galarkin近似によって行ない,級数展開の有限の打ち切り誤差定数をa prioriかつ数値的に導くことによって固有値の存在範囲を厳密に保証するアルゴリズムを導き,さらに数値計算による固有値の包み込みを行なうプログラムの開発を行った.
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