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グラフの因子問題は、与えられたグラフに対して、ある特定の性質をみたす全域部分グラフを見つけるという問題である。全域部分グラフとは、与えられたグラフのすべての点と一部の辺からなるグラフのことである。本研究の目的は次の2点にあった。
(1)因子に連結性を付加し、既存の結果を拡張する。
(2)与えられたグラフの指定した一部分に特定の性質をみたすグラフが存在するための十分条件を見つける。
本年度は、上記研究目的の(2)の解決を主な目標とした。これまでの因子理論では、グラフ全体に所望の性質をみたす全域部分グラフ(因子)があるかという問題に対して、多くの研究がなされ、多くの結果が得られている。しかしながら、因子に関する既存の結果が、グラフの指定した頂点部分集合に対して自然に適用された結果はあまり知られていない。先の研究では、この点に着目し、これまでに知られている多くの因子を包含する新たな因子を定義し、グラフがこの因子をもつための必要十分条件を得ることができた。これにより、(2)の問題を部分的に解決している。そこで本研究課題では、因子理論における既存の結果で取り上げられた様々な条件が部分グラフにも適応し得るかを研究し、因子理論での結果との関連性を追及した。その結果、JiangXing Li氏との共同研究においては、与えられたグラフから任意の数点を取り除いたときに、残りのグラフに所望の因子があるための必要十分条件を得ることができた。さらにこの結果を用い、グラフの指定した一部分に特定の性質をみたすグラフが存在するための十分条件を見つけることができ、グラフ全体で得られる因子の結果が、指定した部分グラフにおいて自然な形で拡張されることがわかった。
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