| 研究概要 |
まず微分作用素の安定性に関しては,整関数全体のなす環上の(定数係数とは限らない)1階線形微分作用素がHyers-Ulam及びGerの意味で安定性をもつための必要十分条件を与えた.より正確には,Hyers-Ulamの意味で安定性をもつための必要純分条件は,係数関数が定数であることであり,Gerの意味での安定性は微分方程式の解以外には成り立ち得ないことを示した.さらに,これらの安定性に関する最良の誤差を完全に決定した.これまでの研究では,安定性に関する誤差を完全に決定することが出来たが,一般に最良の誤差が存在するか,という問題が未解決であった.この問題に対して,最良の誤差が存在するための十分条件を与えるとともに,最良の誤差が存在しない例を構成した.また,Hyers-Ulamの意味での安定性よりも一般的な,Hyers-Ulam-Rassiasの意味での安定性を,1階定数係数微分作用素に対して考察した.これらの研究で得られた手法を応用することで,微分作用素に限らず,より一般の非有界作用素に対するHyers-UlamあるいはHyers-Ulam-Rassiasの意味での安定性に関する結果を得た.実際,Jordan準同型写像は,非有界作用素の重要な例である環準同型写像の一般化であるが,Banach環上のJordan準同型写像についてはHyers-Ulam-Rassiasの意味での安定性が成り立つことを示した.また,Banach環上の乗作用素に対しては,Hyers-Ulam-Rassiasの意味での安定性が,より強い意味で成り立つことを示した.本研究課題の中心は,非有界作用素を通して可換Banach環の構造を調べるものであるが,複素可換Banach環の研究においてGelfand理論,特にGelfandの表現定理はその根幹をなす.他方において,実可換Banach環に対する表現定理は単位的実可換Banach環の結果が知られているが,単位元の存在は本質的でないこと,及びすでに知られているcontinuous sectionとcontinuous functionによる一見異なる表現が,実は本質的に同じであることも示した.
これらの諸結果は,しかるべき雑誌に掲載済みもしくは掲載予定であるので,詳細については下記の研究発表欄を参照されたい.
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