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本年度は楕円型方程式の解の強比較原理について考察しました。強比較原理とはある領域で楕円型方程式の劣解と優解があり各点で劣解の値が優解の値以下である状況を考えます。もし、劣解と優解の値が一致する点が方程式の成立する領域内にあるならば実は劣解と優解は方程式の成立する領域で一致することが成立するという原理です。一方、それに似た原理として強最大値原理があります。それはある領域で楕円型方程式を満たす解があり、その値はある値以下である状況を考えます。もし、解が方程式が成立する領域の内点でその値を実現するならば解の値は方程式が成立する領域で定数であることが成立するという原理です。線形楕円型方程式に対しては強最大値原理が証明されております。方程式が線形な場合は強最大値原理と強比較原理は同値であることが知られております。非線形楕円型方程式に対しては一般にはそれらの同値性は正しくありません。近年、粘性解という弱解を用いてかなり広い方程式を対象に強最大値原理が証明されていました。我々はその証明方法を拡張して粘性解の強比較原理の証明に成功しました。ただし、対象となる方程式は一様楕円型方程式、グラフで表される極小曲面方程式は含みますがpラプラス方程式に対しては証明することが出来ていません。今後の課題としたいです。
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