| 研究概要 |
量子系のエネルギー準位統計についての研究
前年度は可積分量子系、および近可積分量子系のエネルギー準位間隔分布についての研究を進めた。ベリー・ロブニックの仮定を基礎に、量子系の準位間隔分布を独立な準位成分の数を無限大にとる極限として導出し、新しい統計則が生じる可能性を理論的に明らかにした。
今年度は、この理論を長距離スペクトル相関に発展させる研究を進めた。量子系の長距離スペクトル相関を表す統計量には、スペクトル硬度・準位数分散・2点相関関数などが知られており、可積分量子系の場合には、ポアソン点過程が示す統計則に一致することが「ベリー・テイバーの予想」として、広く知られている。我々はPandeyの公式を出発点に上述の3つの統計量を、準位成分の数を無限大にとる極限として導出し、ポアソン統計に一致するための条件や外れるための条件を明らかにすることに成功した。可積分量子系の長距離スペクトル相関量は準位成分に強い集積が生じる場合にポアソン統計の与える相関量から外れることがわかった。また、数値計算により、幾つかの可積分量子系に対してポアソン統計から外れる例を解析し、理論との整合性を明らかにした。研究内容に関しては、現在、論文発表の準備を進めている。
近年、J.MarklofおよびA.Eskin, G.Margulis and S.Mozesらは、幾つかの可積分量子系について、ベリー・テイバーの予想に対する厳密証明を与えている。彼らの証明では、エネルギー準位が異常集積を起こさないことが前提として掲げられている。また、異常集積を起こす場合には2点相関関数が対数発散を起こすことも証明している。我々の理論との関係を明らかにする必要がある。
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