| 研究概要 |
線形方程式Ax=bを高速に解くための前処理手法の開発を行った.従来の前処理付きKrylov空間法のアルゴリズム(外部反復)の反復の過程でK^<-1>vを求める前処理に対して,われわれはA^<-1>vの近似を求めることによって前処理する方法を提案した.ここで,A^<-1>vの近似はAz=vをある精度,ある反復法で解くこと(内部反復)によって求められる.この前処理の効果は,外部解法と内部解法との組み合わせに依存すると推測されている.そこで,次のような2点について検討した.
外部解法に双共役勾配(Bi-CG)法,自乗共役勾配(CGS)法,Bi-CG Stabilized(Bi-CGSTAB)法,Generalized Product type method based on Bi-CG(GPBi-CG)法,一般化共役残差(GCR)法,また内部解法には逐次緩和法(SOR法)を採用し,SOR法を内部解法として用いたときの最適な外部解法の検討を行った.その結果,Bi-CG法系統の解法を外部反復に用いた場合には効果がなく,残差最小性に基づく解法(ここではGCR法)が適当であることがわかった.
第二として,内部解法の違いが収束性に与える影響について調べた.GCR法を外部解法として使用し,固有値,固有ベクトルが知られている対称問題を通して,内部解法に定常反復法(SOR法),Kfylov空間法(GCR法)を用いた場合の特徴,長短,および影響を調べた.その結果,右辺項が0に近い固有値に対応する固有ベクトル成分をもつ場合には,内部解法に定常反復法(SOR法)を使用すると効果的で,その一方で,0に近い固有値に対応する固有ベクトル成分をもたない場合には,内部解法にKrylov空間法(GCR法)を使用すると効果的であることが分かった.
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